《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案

教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？A’A’A’2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？渗透解题思路：即1、展-----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。练习：如上图，在棱长为5厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在10秒内从A爬到B？意图：再次渗透将立体图形转化为平面图形来解决问题的思路，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，让学生学会分析问题，发展空间观念．第四环节：拓展二：长方体内容：如果正方体盒子换成长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？引导学生分析如何将立体图形转化为平面图形，只需要将起点和终点所在的2个平面图形转化为1个平面图形来解决，会有哪几种情况？利用模具（提前发给学生的长方体）分析讨论，最后得出3种情况：(1)经过正面和上底面;(2)经过正面和右面;(3)经过左面和上底面.BA总结提升：给出一个长方体，设它的长、宽、高分别是a、b、c，且abc.到以下三种情况：将其展开，可以得蚂蚁沿着长方体表面从注爬到B的最短距离的平方分别是：方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1．审题——分析实际问题；2．建模——建立相应的数学模型；3．求解——运用勾股定理计算；第五环节：举一反三第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，总结出在寻求曲面最短路径时，往往把空间问题平面化，利用两点之间线段最短利用勾股定理解决实际问题。第七环节：布置作业：1．课本习题如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.