二次函数与几何综合题

1二次函数与几何综合一、二次函数与三角形综合......................................................................................................................1㈠二次函数与等腰三角形..........................................................................................................................2㈡二次函数与直角三角形..........................................................................................................................7㈢二次函数与相似三角形..........................................................................................................................9二、二次函数与四边形综合....................................................................................................................11（一）二次函数与平行四边形................................................................................................................11（二）二次函数与特殊四边形................................................................................................................17三、二次函数与圆综合............................................................................................................................19四、二次函数与面积综合........................................................................................................................22五、二次函数与最值综合........................................................................................................................28六、二次函数与定值综合........................................................................................................................34一、二次函数与三角形综合二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等于90°去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。求作等腰三角形、直角三角形的方法：图一两圆一线图解图二两线一圆图解总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。等腰三角形、直角三角形可能的情况：(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如图；(2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；例题精析2㈠二次函数与等腰三角形例1．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．例2．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．3例3（扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．例4.（2011湘潭）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.例5.(10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−41−mx2+45mx+m2−3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。(1)求点B的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。33+=xyxyxyxOCBAxyO114例6：如图11，已知抛物线23212++−=xxy的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），以点P为角的顶点，MP为角的一边作∠MPQ=45°，角的另一边PQ与MB交于点Q。（1）设OP=x，TMQ=，求T关于x的函数解析式，并写出定义域的取值范围。（2）是否存在以点M、A、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出OP的长；若不存在，请简要说明理由；图11例7．（2010浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？例8．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－94（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过．．．．点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．YXQBPCMAO（第24题）DEQBACPH5例9．（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．（1）求点C的坐标．（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．例10．（10湖北黄冈）已知抛物线2(0)yaxbxca=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线54y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）.(1）求字母a，b，c的值；(2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；(3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.6例11．（10广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线xy3=交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．(1）直接写出C点坐标和t的取值范围；(2）求S与t的函数关系式；(3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．A8COB备用图183xy3yx=A8PCEODFBl3yx=xy837㈡二次函数与直角三角形例12．（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．例13、如图，抛物线212222yxx=−++与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点．（1）求ABC、、三点的坐标；（2）证明ABC△为直角三角形；（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使ABP△是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．例14、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．8PBACOxyQ图3例15.（2