数字电子技术12逻辑函数的化简方法

一、标准与或表达式)(A,B,CFYCBABCACABABCCAAB1.2逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的标准与或式和最简式)()(BBCACCAB标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项1.最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。)(A,BFY(2变量共有4个最小项)BABABAAB)(A,B,C,DFY(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)DCBADCBA…DABC…ABCDDCBA)(A,B,CFY(3变量共有8个最小项)CBACBACBABCACBACBACABABC1CBA1CBA对应规律：1原变量0反变量2.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABCCBACBACBABCACBACBACABABC(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；ABC001ABC101(2)任意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为1。3.最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1反变量0CBACBACBABCACBACBACABABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.最小项是组成逻辑函数的基本单元CAABA,B,CFY)(BCACBAABCCAB3176mmmmm7,6,3,1任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。)()(BBCACCABY[例]写出下列函数的标准与或式：[解]或m6m7m1m3[例]写出下列函数的标准与或式：CBADABY)()()(CBDABA)()(CBDBADCBCABA)()()(AADCBBBCACCBADCBADCBACBACBABCADCBADCBADCBADCBADCBADCBADBCABCDAm7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm)8,7,6,5,4,1,0(mm0与前面m0相重最简或与式最简与或非式二、逻辑函数的最简表达式及相互转换BCCAABY最简与或式CAAB最简与非-与非式最简或与非式CBCABA)()(CABACABA最简或非-或非式CAABCABA最简或非-或式))((CABA核心1.2.2逻辑函数的公式化简法一、并项法:ABAABBACABABCYBAABBCBACABCBAABCY)()(CBCBACBBCAA)(CBACBA[例1.2.8][例]（与或式最简与或式）公式定理二、吸收法：AABAEBDAABYEBDABABABCDCBABCAAY)()()()(DCBABCABCABCA[例1.2.10][例][例1.2.11]CDBCDAABYCDBAAB)(CDABABABBA三、消去法：BABAACBCAABYCBAAB)(CABABCABABCCBABABAY)()(BCBACBBA)()(CBACBAACCABABACBABA[例][例1.2.13]四、配项消项法：CAABBCCAABABABCACB或BCCACACBBCCABABCCABACBACBAYCBACBABCCABABABCCACACBY或BCCABACBACBA[例][例1.2.15]冗余项冗余项综合练习：EACDECBEDCBBEAACEYDCBACDCBBAACE)(DCBEADEBECEDCBEADCBE)(DCBEADCBEDCBEAEDCBEDCBADBCE)(1.2.3逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图(Karnaughmaps)卡诺图：1.二变量的卡诺图最小项方格图(按循环码排列)(四个最小项)ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01012.变量卡诺图的画法三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：CABCACBAm0m1m2m3m4m5m6m7五变量的卡诺图：四变量的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项3.卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻(1)几何相邻：相接—紧挨着相对—行或列的两头相重—对折起来位置重合(2)逻辑相邻：CABCBACBCBAA)(例如两个最小项只有一个变量不同化简方法：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过6个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。4.卡诺图中最小项合并规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432CBCBACBABACBACBAABCD00011110000111101946DCBDCBADCBADBADCBADCBA(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128DC321011CBABCD000111100001111057131502810DB81240mmmmDCBADCABDCBADCBADC111023mmmmDCBADCBADCBADCBACB151375mmmmDCBADCBADCBADCBABD10820mmmmDCBADCBADCBADCBADB(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128C321011BABCD000111100001111057131502810D151394612142n个相邻最小项合并可以消去n个因子总结：二、逻辑函数的卡诺图表示法1.根据变量个数画出相应的卡诺图；2.将函数化为最小项之和的形式；3.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例])(CB,A,FYACBCABCBABCACABABCABC010001111011110000三、用卡诺图化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例1.2.20]CBADCACBCDBYABCD000111100001111011111111CBDBACBACBADBACBY[解]CBADCACBCDBYABCD000111100001111011111111画包围圈的原则：(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈[例]mD,C,B,AF)15,13,21,8,6,5,4,1()([解](1)画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式DBAABDDCADCAY注意：先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数[例]mF)15,14,11,10,8,4,3,2,1,0([解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式DBDCAACBAY[例]用图形法求反函数的最简与或表达式ACBCABY[解](1)画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2)合并函数值为0的最小项(3)写出Y的反函数的最简与或表达式CACBBAY1.2.4具有约束的逻辑函数的化简一、约束的概念和约束条件(1)约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的升、降、停命令。A=1表示升，B=1表示降，C=1表示停。ABC的可能取值(2)约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件(3)约束条件：ABCCABCBABCACBA0ABCCABCBABCACBA(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。约束项：约束条件：或0)7,6,5,3,0(d2.约束条件的表示方法(1)在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。例如，上例中ABC的不可能取值为二、具有约束的逻辑函数的化简[例]化简逻辑函数dmDC,B,A,F)15,14,12,10,9,5,3()8,7,1()(化简步骤:(1)画函数的卡诺图，顺序为：ABCD0001111000011110先填10111000000(2)合并最小项，画圈时╳既可以当1，又可以当0(3)写出最简与或表达式DADAY[解]╳0)15,14,12,10,9,5,3(d[例]化简逻辑函数DCBADCBADCAY约束条件0ACAB[解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111(2)合并最小项(3)写出最简与或表达式DADBDCY合并时，究竟把╳作为1还是作为0应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。注意：0ACAB