高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结

2012.3.264.公式：1.两实数大小的比较0baba0baba0baba一.不等式(精简版）3.基本不等式定理2a1a0a2a1a0ab,a(2baab)ba(2baab2ba2baab2baab)ba(21baab2ba2222222222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式2211222abababab2.不等式的性质：8条性质.3.解不等式(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：判别式△=b2-4ac△0△=0△0y=ax2+bx+c的图象(a0)ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1=x2=没有实根ax2+bx+c0(y0)的解集{x|xx1,或xx2}{x|x≠}Rax2+bx+c0(y0)的解集{x|x1xx2}ΦΦx1x2xyOyxOx1yxO)0a(abx)0a(abx)0a(baxab2ab2一元二次不等式的求解流程：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.(3)解分式不等式：高次不等式：(4)解含参数的不等式：（1）(x–2)(ax–2)0（2）x2–(a+a2)x+a30；（3）2x2+ax+20；注:解形如ax2+bx+c0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：0)x(g0)x(g)x(f0)x(g)x(f0)x(g)x(f0)x(g)x(f0)())((21naxaxax用图象分离参数后用最值函数、、、321例1．已知关于x的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．例2．关于x的不等式对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.20,31xxaxx恒成立，例3.若对任意则的取值范围.a22(3)210xaxa)1(log22axaxy二次方程根的分布问题的讨论：y()020fkbka1．x1x2kxOkx1x2kxyOx2x1k()020fkbka2．kx1x2xyOx2x1k()0fk3．x1kx24．k1x1x2k25．x1k1k2x21212()0()002fkfkbkka12()0()0fkfk6．k1x1k2x2k3122()0()0()0fkfkfk4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。zaxby22yxzyzxxyOx2x1k1k2Ox2x1k1k2xyyOx2x1k1k2k3x练习：1.求满足|x|+|y|≤4的整点（横、纵坐标为整数）的个数。4.求函数的最小值.5.已知两个正数满足求使恒成立的的取值范围.1.实数的性质：0baba；0baba；0baba．2.不等式的性质：性质内容对称性abba，abba．传递性ab且bcac．加法性质abacbc；ab且cdacbd．乘法性质,0abcacbc；0ab，且00cdacbd．乘方、开方性质0,nnabnNab；0,nnabnNab．倒数性质11,0ababab．3.常用基本不等式：条件结论等号成立的条件aR20a0a,aRbR222abab，2()2abab，222()22ababab0,0ba基本不等式：2abab常见变式：2baab；21aaab2212.()2log(01)logfxxxx求函的最大值；14.f(x)=x+1x（x4）的最小值2(1)4()(1)1xfxxx4,ab,ab28mabm30,0ba2211222babaabbaab7.不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：(1)27120xx；(2)2230xx；(3)2210xx；(4)2220xx．解：(1)方程27120xx的解为123,4xx．根据2712yxx的图象，可得原不等式27120xx的解集是{|34}xxx或．(2)不等式两边同乘以1，原不等式可化为2230xx．方程2230xx的解为123,1xx．根据223yxx的图象，可得原不等式2230xx的解集是{|31}xx．(3)方程2210xx有两个相同的解121xx．根据221yxx的图象，可得原不等式2210xx的解集为．(4)因为0，所以方程2220xx无实数解，根据222yxx的图象，可得原不等式2220xx的解集为．练习1.（1）解不等式073xx；（若改为307xx呢？）（2）解不等式2317xx；解:(1)原不等式03,0703,07xxxx或{|73}xx(该题后的答案:{|73}xx).(2)1007xx即{|710}xx.8、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：（1）设出未知数，确定目标函数。（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－bax＋bz，所以，求z的最值可看成是求直线y＝－bax＋bz在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。9、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC，坐标平面内的点00,xy．①若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的上方．②若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的下方．10、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC．①若0，则0xyC表示直线0xyC上方的区域；0xyC表示直线0xyC下方的区域．②若0，则0xyC表示直线0xyC下方的区域；0xyC表示直线0xyC上方的区域．11、最值定理设x、y都为正数，则有⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆典型题例示范讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(xgxfxgxf②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．不等