特殊方法

12特殊化方法特殊化方法的含义所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。特殊化通常就是考虑一般性命题的特殊例子。特殊化的作用在于，当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有个初步了解。我们考察了这个特殊情况后，可以弄清蕴含于其中的一些概念和关系，并且熟悉我们面对的问题类型，这对我们进一步解决问题肯定是有帮助的。法。3特殊化方法用特殊化解决问题的过程用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示如下：4特殊化方法特殊化方法的应用（1）利用特殊值解选择题时；（2）利用特殊化探求问题的结论；（3）利用特殊化检验一般结果；（4）利用特殊化探索解题思路。5特殊化方法解释特殊化方法，就是当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，来研究问题的一般情况。特殊化方法将会使我们对研究的对象有个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临的问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。可以从两方面导致特殊化：●将可变对象换成固定对象例如我们从正n边形转而特别考虑正三角形，就是把n换成了定数3。●增加对研究对象的限制条件例如，我们从多变形转而特别考虑正n边形，就是增加了限制条件。6特殊化方法在解题中应用解释特殊化方法在数学教学中有很重要的作用，如我们书上所列的在解选择题时，若用常规方法解比较困难或运算繁琐，若用特殊值方法，来逐一排出答案，则非常简捷。用特殊值还可以验证我们所记公式是否准确，如三角函数公式非常多，公式结构又很类似，记忆非常困难，而且经常混淆。当使用公式时，我们可以用特殊值先来验证公式记忆是否准确。除此之外，在解决问题时，特殊化能为我们探求问题的结论，并且利用化方法能为我们提供解题思路。7举例桌子上有n只碗，全部倒放着，现规定每次翻动n-1只碗，问经过有限次翻动后，能否使所有的碗碗口都朝上。分析：先考虑一些特殊情况。当n=1时，n-1=0,每次“翻动零只碗”，即一只碗也不翻动，答案显然是否定的。当n=2时，n-1=1，“每次翻动一只碗”，答案显然是肯定的。由这两种特殊情况，我们可以知道，当n取不同的值时，本题会有不同的答案。进行较为深入的分析，即可证得此题当n为奇数时答案是否定的；当n为偶数时答案是肯定的。8举例如果正整数N（N＞1）的正约数的个数是奇数，求证：N是完全平方数。分析：先考察几个特殊的正整数。9举例如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形为7平方厘米，那么中间三角形（阴影部分）面积是多少平方厘米？5710特殊化方法特殊化与一般化的辩证关系一般化方法就是将所研究的问题放在较原问题更一般的情况下考察的方法。如能解决更一般的问题，则原问题随之解决。在数学里，一般化主要表现于对命题的推广，此外也表现于用一般化思想方法解决特殊问题。这就是说，有些特殊问题一时不易解决，不妨把它们一般化，倘若该一般化问题能够得到解决，那么原来的特殊问题也就随之得到解决。11举例例n个整数的和为100，试证其平方和不可能为10001。分析：将问题一般化，n个整数的和为100，试证其平方和不可能为奇数。显然这个命题是上个命题的一般化，只要这个命题成立，上个命题一定成立。12递推思想在现实世界中,许多现象的变化是有规律可循的,这种规律往往呈现出前因和后果的关系.而递推关系的思想正体现了这一规律.案例2：斐波那契兔子问题公元13世纪意大利数学家斐波那契记载于他的名著《算盘书(1202发表)1228年的修订本中。原题为：某人有一对兔子饲养在围墙中，如果他们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后（即隔一个月）也是每个月生一对兔子，问一年后围墙内共有多少对兔子。月份12345…13兔子数12358…377f(n)=f(n-2)+f(n-1)n≥3f(1)=1f(2)=2f(3)=1+2=3f(4)=3+2=5f(5)=5+3=8f(6)=8+5=13f(7)=13+8=21f(8)=21+13=34f(9)=34+21=55f(10)=55+34=89f(11)=89+55=144f(12)=144+89=233f(13)=233+144=377.当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割0.618.1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...,8÷5=1.6…，（六上58）89÷55=1.6181818…,233÷144=1.618055…,75025÷46368=1.6180339889….相关的数学问题有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法…….1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法.（六下36）从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依次类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10级，每一级的方法数都求出例有一堆火柴共12根，如果规定每次取1-3根，那么取完这堆火柴有多少种不同的取法？分析：12根火柴看作12级台阶，每次取1-3根看作每次只能登1-3级台阶，转化为上楼梯问题。登上第n级台阶的走法记为an,登上第n-1级台阶的走法记为an-1,登上第n-2级台阶的走法记为an-2,登上第n-3级台阶的走法记为an-3,这样登上n级台阶的走法有an=an-1+an-2+an-3，所以，登上台阶方法数依次为：1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,9272021如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动1个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=312322如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动1个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=312323当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想an=2n-112324河内塔问题设n个金盘移动F(n)次F(1)=1F(n)=F(n-1)+1+F(n-1)=2F(n-1)+1F(n)+1=2(F(n-1)+1)=22(F(n-2)+1)=······=2n-1(F(1)+1)=2nF(n)=2n-12526河内塔问题ABC27河内塔问题ABC28河内塔问题将A塔上的金盘移到B塔上！要求一次只能移动一个盘大盘不能压小盘ABCA