2019年常德市中考数学试卷压轴题第26题解析及改编

浅析2019年常德市中考数学试卷压轴题第26题常德市第十七中学魏俊思想立足点的高度决定视野的广阔度，而视野的广阔度又决定了思想的深度．2019年6月21日，从Q友龙焱的QQ空间偶然看到了2019年常德初中学业水平考试数学试题卷，因为今年也教初三，所以认真的将所有题目大致浏览了一下，最后对第26题留下了深刻印象．试题呈现：在等腰三角形△ABC中，AB=AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图12中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图13中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE﹢PF=BM；（3）在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM·PF﹢OM·PE=AM·PE．解法欣赏：法1：（1）略.（2）简证思路：过B作BG∥CM交EP的延长线于G，先证四边形MBGE是矩形，可得BM=EG，再证△BGP≌△BFP(AAS)，可得PG=PF，即PE+PF=BM，证毕.1（3）简证思路：过B作BG∥CM交EP于G，先证四边形MBGE是矩形，可得BM=EG，再证△BGP≌△BFP(AAS)，可得PG=PF，在Rt△BOM中，由tan∠1=(OM/BM)，在Rt△ACM中，由tan∠2=(AM/CM)，由∠1=∠2有(OM/BM)=(AM/CM)，即OM·CM=AM·BM，而AM·PF+OM·BN=AM·PE可化为OM·BN=AM·PE﹣AM·PF，OM·BN=AM·(PE﹣PF)=AM·GE=AM·BM，又BM=CN，证毕.法2：辅助线如下图，思路参考上图.补：（2）问另解：由（1）可知S△BCM=S△CBN，S△BPM=S△BPN(易证MN∥BC)，即S△BCM=S△BPN+S△CPM，即BM·CM=BN·PF+CM·PE，又CM=BN，即PE+PF=BM，证212121毕.2法3：（来个展现学生最近发展区的解法）（1）略.（2）简证思路：在Rt△BPF中，由sin∠PBF=(PF/BP)，即PF=BP·sin∠PBF，在Rt△PCE中，由sin∠PCE=(PE/PC)，即PE=PC·sin∠ECP，由（1）有∠PBF=∠PCE，故PE+PF=BP·sin∠PBF+PC·sin∠ECP=（BP+PC）·sin∠ECP=BM，证毕.（3）简证思路：在Rt△BPF中，由sin∠PBF=(PF/BP)，即PF=BP·sin∠PBF，在Rt△PCE中，由sin∠PCE=(PE/PC)，即PE=PC·sin∠ECP，由（1）有∠PBF=∠NBC=∠PCE，故PE﹣PF=PC·sin∠PBF﹣PB·sin∠ECP=（PC﹣PB）·sin∠ECP=BM，所以AM·PE﹣AM·PF=AM·BM，又在Rt△BOM中，由tan∠1=(OM/BM)，在Rt△ACM中，由tan∠2=(AM/CM)，由∠1=∠2有(OM/BM)=(AM/CM)，即OM·CM=AM·BM，又BM=CN，证毕.一点建议：利用等量代换，若将第（3）问中的AM·PF﹢OM·BN=AM·PE改为AM·PF﹢CN·BN=AN·PE，可能试题对学生成绩好坏的区分度会更高．追本溯源：开拓创新：3本题还有一些改编方法，在此不一一列举了，有兴趣的同志可去研究研究．“学而不思则罔，思而不学则殆”，对于一名学生而言，真正的优秀来源于思考的独立．写在最后：在解题时，开始可能仅仅停留在求解的层面，但随着思考的深入，也许会产生一些新的想法，比如：一题多解，多解归一等，如果学有余力，不妨来一段：改编→深度改编→原创．当你还原出命题者设计此题的思路时，也许你会发现一题多解原来也是如此简单；当你回到命题者设计此题的源头时，也许你会发现试题的“改编→深度改编→原创”原来如此有趣．2019年6月22日写于常德家中4