柯西不等式(原始版)题型分类

柯西不等式（原始版）的习题分类柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。一、柯西不等式（原始版）1、2221122212221bababbaa，当且仅当向量21,aaa，21,bbb同向时候成立，如果0,21bb时，那么当且仅当2211baba时成立。2、2332211232221232221babababbbaaa，当且仅当321321::::bbbaaa时等号成立。3、211212nkkknkknkkbaba，当且仅当nnbbbbaaaa:...::::...:::321321时等号成立。由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。二、常见题型1、常数次次11。例1、已知1ba，且0,ba，求ba11的最小值。解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是kba11，k为某个常数，那么不等式左边1次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以ba，这样左边变成了baba11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。41111112bbaabababa，当且仅当21ba时等号成立，所以ba11的最小值为4。显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。例2、若0,,cba，求证9111cbacba。解析：可以直接应用柯西不等式91111112ccbbaacbacba，当且仅当1cba时等号成立。练习：1、已知0,,cba，证明：cbacba9111。2、已知0,,cba，证明：cbaaccbba29111。提示：accbbacba2。3、已知0,,cba，并且1cba，求acbcbabac的最小值。提示：babac11；cbcba11；acacb11。4：已知cba，证明cacbba411。提示：设bax，cby，则yxca，且0,yx。2、次常数次12例3、已知1422yx，求yx的取值范围。解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。这类问题是转化形如221224yxkkyx（21,kk为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数21,kk的确定。观察柯西不等式2221122212221bababbaa，有222iiiibaba，2,1i，相应的2124xkx，222yky，易得1,421kk。所以222144yxyx，即251yx，所以55yx。例4、已知1222zyx，求zyx32的取值范围。分析：需要转化为形如232122232zyxkkkzyx的柯西不等式，有212xkx，2224yky，2329zkz，解得9,4,1321kkk。解：222232941zyxzyx，即13322zyx，所以133213zyx。例5、已知1zyx，求2222zyx的最小值。解析：222221211zyxzyx，即2222251zyx，所以522222zyx，当且仅当12121zyx，即51,52yzx，或时等号成立，所以2222zyx的最小值为52。例6、求函数xxy241的最大值。解析：设xbxa2,1，则322ba（一定要是其平方和为常数），则bay2，由柯西不等式，222221baba，即233y，所以3y，当且仅当21ba，即0x时等号成立。练习：1、已知22zyx，求22223zyx的最小值。2、如果1zyx，则31222zyx。3、求函数34212xxy的最大值。