曲面坐标

曲面坐标，正交磁面坐标，完全磁面坐标和Hamada坐标胡希伟2009-7-121．非正交曲面坐标系2．正交磁面坐标系3．完全磁面坐标系4．Hamada坐标系参考文献[1].R.D.HazeltineandJ.D.Meiss,‘PlasmaConfinement’,1992,Addison-WeslyPublishingCompany,pp.59-60.[2].L.S.SolovevandV.D.Shafranov,‘Plasmaconfinementinclosedmagneticsystems’in“ReviewsofPlasmaPhysics”Vol.5EditedbyM.A.Leontovich,1967,ConsultantsBureau,pp.15,16,20.[3].M.D.KruskalandR.M.Kulsrud,Phys.Fluids,1(1958)265.[4].W.Newcomb,Phys.Fluids,2(1969)362.1．非正交曲面坐标系（ξ1，ξ2，ξ3）——由微分矢量定义共变基矢，坐标系的Jacobian及反变基矢曲面坐标系中点（ξ1，ξ2，ξ3）处的任意微分矢量dr可以通过每个坐标的微元dξi表示成：.iiiidedrrdξξξvvv≡∂∂=(1.1)这里（{ei}）被称为这个曲面坐标系的共变基矢，一般这几个共变基之间并不正交，但可以找到一组能与它正交的反变基矢（{ei}）：.ijijjieeeeδ==⋅vvvv(1.2)直观地来看，这说明反变基矢ei垂直于由共变基矢ej和ek组成的平面，故可以将它们之间表示成：.,1kjikjieeJeeeJevvvvvv×=×=或(1.3)其中).(kjieeeJvvv×⋅=(1.4)被称为坐标系（ξ1，ξ2，ξ3）的变换Jacobian，在直观上表示由三个共变基矢所组成的平行六面体的体积。于是曲面坐标系中的体积元d3r中就会出现J：.)(3213213ξξξddJdrdrdrdrd=×⋅=vvv(1.5)利用上式，标量f的梯度就可以表示成().,332211ξξξξdededederdfrddfiivvvvvv++≡=∇⋅=(1.6)有了梯度表达式，可以将反变基矢用曲面坐标（ξ1，ξ2，ξ3）直接表示出来（而不用通过共变基矢的叉乘表示）。利用某个标量坐标ξj的梯度表达式，可得：().,jijijiijjederddδξξξξξ≡∇⋅⇒∇⋅=∇⋅=vvv(1.7)将上式中后一个表达式与（1.2）相比，即可知反变基矢是相应坐标的梯度：.jjeξ∇=v(1.8)——由线元（微分矢量的绝对值）定义度量张量由曲面坐标系中线元平方(ds)2，可以引进度量张量{gij}()().,)(2jiijjiijjjiieegddgdederdrddsvvvvvv⋅==⋅=⋅=ξξξξ(1.9)可以看到，度量张量{gij}是对称的：gij=gji。对直角坐标系来说：。利用（1.4）（1.1）可证Igijijtδ=.)det(2Jggij==(1.10)同样，可以用反变基矢来定义反度量张量,jiijeegvv⋅=(1.11)反变和共变度量张量间存在互逆的代数关系：.,1的代数余子式是ijijijijgGGgg=(1.12)——在曲面坐标系中的矢量及其代数、微分运算任一矢量A可以表示成,iiiieAeAAvvv==(1.13).,jijijijiegAegAvv==(1.14)代数运算,iiiiBABABA==⋅vv(1.15).)(,1)(kjijkikjijkiBAgBABAgBAεε=×=×vvvv(1.16)解析运算;)(,)(iiiiffffξξ∂∂=∇∇∇=∇(1.17)();1iiAggAξ∂∂=⋅∇v(1.18)();1)(,kjijkiiiAgAeAAξε∂∂=×∇×∇=×∇vvvv(1.19);12⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=∇jijifgggfξξ(1.20);)]([iiiiiBAABABBABA∇⋅−⋅∇−∇⋅+⋅∇=××∇vvvvvv(1.21).iiAAξ∂∂=∇⋅v(1.22)2．正交磁面坐标系（ψ，θ，φ）对轴对称的tokamak，最常用的正交坐标系是磁面坐标（ψ，θ，φ）。利用极向截面（小柱坐标系中取确定θ值时的截面，一般取θ=0时的）面元dSp和体积元d3r的表达式,,030ψφθψφθdddJrdddJdSp=∇=(2.1)可证∫∫∫∫∇⋅=∇⋅=∇⋅=⋅==,)2(1)()2(1)(21212132020rdBdddJBddJBSdBpolSpolθπψφθθπψφθππψπψvvvvv(2.2)是从磁轴到此磁面的极向磁通（单位φ角平均值）；φ是沿大环的环向角；而对应于极向角，但θ不是小柱坐标系的极向角，通过对它的挑选，使（ψ，θ，φ）构成一个右手正交系。下面是对这种选择过程的描述。假定平衡磁面位形由大柱坐标中的Grad-Shafranov方程得出，令两个相距dr（小截面上）的磁面间所通过的极向磁通为dψp，则有.;,2,21ψψψπψψπψψvvvppppppRBeeRBdRdRdRBddRdRBd=≡≡∇∴=⇒==≈(2.3)其中ψ是磁面ψ法线方向的单位矢量。再由大柱坐标系中.1;1,3φφφφφvvvReeRdldRdld=≡≡∇∴=⇒=(2.4)其中φ是大柱坐标的环向单位矢量。按一般非正交曲面坐标系的定义，坐标系（ψ，θ，φ）的Jacobian是),(10φθψ∇×∇⋅∇=−J(2.5)将（2.3）和（2.4）中的e1e3代入上式，并利用三个基矢的正交要求，得.)(102θθθvvv−=≡≡∇pBJee(2.6)其中θ是小柱坐标的极向单位矢量。其中的J0是由平衡条件导出的下述微分方程的解：.ln)ln(2ln2ln200fBBPBJptppψμψβψψ∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∂∂−∂∂−=∂∂(2.7)其中。)2//(,02μβpptBPRBf==在坐标系（ψ，θ，φ）中，利用平衡条件，j，B00=∇⋅=∇⋅ψψvv(2.8a)可知磁场B和电流j没有ψ分量，只有极向θ和环向φ分量：B=Bpθ+Btφ，j=jpθ+jtφ.(2.8b)它们的反变分量可写成（考虑到(2.3-4,2.6)中对反变基的定义及基矢的单位方向矢量(ψ，θ，φ)间的正交归一性）：.1,03302211RBBeBB，JBeBBBeBBt=∇⋅=⋅==∇⋅=⋅==∇⋅=⋅=φθψvvvvvvvvv(2.9).,03021Rjj，BJjjjtpp===(2.10)于是，利用变换Jacobian的定义（2.5），磁场可以写成.,tRBffB=∇+∇×−∇=φφψv(2.11)从上式可以看出，正交磁面坐标系（ψ，θ，φ）并不是真正的磁面坐标系。因为在轴对称的、真实的磁面坐标系中，磁场应当被写成如下形式.βψ∇×∇=Bv(2.12)而（2.11）中明显地多出了一项。但在许多文献和书中人们往往还采取这样的磁面坐标系，因为它比较直观，而且在这种坐标系中，每一个磁面（ψ=const.）除了具有一个确定的极向磁通外，它还具有四个只依赖于它的特征量。利用（2.1）,和环向截面（小截面）上的面积元表达式,0ψθφddJdSt∇=(2.13)有环向磁通.21)(3∫∫∇⋅=⋅=torSttrdBdSBφπψψvv(2.14)环向总电流.21)(3∫∫∇⋅=⋅=torSttrdjdSjIφπψvv(2.15)极向总电流.21)(3∫∫∇⋅=⋅=polSpprdjdSjIθπψvv(2.16)以及磁面内包围的空间体积.)(3∫=rdVψ(2.17)3．完全（真）磁面坐标系（ψ，η，φ）为了使得磁场在坐标系中只用磁面ψ和另一个标量β的梯度叉乘来表示，就需要把β取成θ和φ的某种组合。这时ψ=const.仍表示某一磁面；而β=const.则是表示在这磁面上的某一条特定的磁力线。也即，在这种坐标系中，磁力线在（η，φ）面上将是一条‘直线’。图中横坐标ζ和ζf均改成φ，右边的纵坐标θf改成η——β以及η的确定，（ψ，η，φ）坐标系的JacobianJ1由磁场在正交磁面坐标系中的表达式（2.9）及矢量散度的公式（1.18），有()()().013020≡∂∂+∂∂=∂∂≡⋅∇BJBJBggBiiφθξv(3.1)可以令（注意上式和下式中的磁场反变上标：2=θ，3=φ）.,00θβφβφθ∂∂=∂∂−=BJBJ(3.2)其中的标量β是（θ，φ）的周期函数：).,,()()(φθψφψθψβΛ++=CA(3.3)其中的A(ψ)和C(ψ)可以按下面的方法从平衡量得出。在磁面ψ→ψ+dψ间的环向磁通为,)(2120020poldtordABJddddψψφθψπψπφπψψψ==∫∫∫+(3.4)所以A(ψ)就是安全因子).()(ψψψψqddApoltor==(3.5)证明：从（3.2）和（3.3）可得（3.4）中的被积函数,)(0θψθβφ∂Λ∂+=∂∂=ABJ(3.5.1)其中的第一项在取比例中项（中值）后，可以将A(ψ)移出积分，再用ψpol=2πψ，就得（3.4）；而第二项在积分后，由于在θ上的周期性而为零。而在磁面ψ→ψ+dψ间的极向磁通为.1)(,)(2120020−=∴−==∫∫∫+ψψψφθψπψπθπψψψCdCBJddddpoldpol(3.6)这样，.,qqqΛ+=−=Λ+−=θηφηφθβ(3.7)于是在完全磁面坐标系（ψ，η，φ）中，磁场可以通过二个标量表示成.φηββψ−=∇×∇=q，Bv(3.8)这时，ψ=const.，β=const.两个曲面的交线描述了一条在（η，φ）面内‘直的’磁力线。而β值则代表了这面上、两条相邻磁力线的间距—螺距。在（3.3）中引入的Λ可以和q(ψ)建立联系。由（2.9）和（3.2），有.1000θβφβφθ∂∂==∂∂−==RBJBJ，BJt(3.9)将β的定义代入上式，得.,00qRBJt−=∂Λ∂=∂Λ∂θφ(3.10)对（3.10）的第二式作不定积分，得,1),,(200∫∫−=−=ΛlpptqBdlRfqdRBJθθθφθψθ(3.11)在推导上式时用到了(2.6)：.,,)(0102ppppBJdlddldBJe=∴=∇=∇≡−θθθθθθvvv而(3.12)其中dlp是沿极向场（Bp）磁力线的线元。把（3.11）代入（3.7），得到∫=Λ+=,12ppBdlRqfqθη(3.13)反过来也可以得到安全因子的另一种定义：∫=.122ppBdlRfqπ(3.14)有意义的是，完全磁面坐标（ψ，η，φ）中的JacobianJ1要比J0更容易求出。因为利用定义和(3.13)，有.,;1,,1);(21211tpppppRBffqRJRRBBRqfl，llJ==⇒∴=∇=∇=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇∂∂∇∂∂+∇∂∂=∇∇×∇⋅∇=−φφψψηθηθθθηθθηθθηψψηηφηψvvvvQ而(3.15)——坐标系（ψ，η，φ）的反变度量张量{gij}的确定由前面的(3.12)和(3.15)，可知此坐标系的三个反变基矢为.,1,231θηψψηθθηψψηηφφψψηφψvvvvvvvvvvppplRBeeReeRBee∂∂+∂∂=∇∂∂+∇∂∂=∇===∇===∇==(3.16)于是有反变度量的各分量（注意到，(ψ，θ，φ)是相互正交归一的单位矢量）：.1,0,0;0,)(,;0,)(,)(2332332133123222222212122131132211221111RgggggglRBeeggeegeegRBeegRBeegpppp======⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=⋅==⋅==⋅=∂∂=⋅==⋅=ηψηψηvvvvvvvvvv(3.17)上式中包含的两个偏微商，有一个可以表示成（见(3.15)）:;12ppBRqfl=∂∂η(3.18)但另一个就只能用数值方法来出：∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=∂∂.ln2ln11022ψψψψηRJRBdlqfBdlRqfpppp(3.19)上式的推导：由