实验2-差分方程-个人住房抵押贷款问题

实验二个人住房抵押贷款问题一、问题随着经济的发展，金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。2012年7月6日，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平，其中贷款利率如表1所示：表1中国人民银行贷款利率表项目贷款期限贷款利率（%）贷款短期6个月以下5.606个月到1年6.00中长期1年到3年6.153年到5年6.405年以上6.55个人住房公积金贷款5年以下4.005年以上4.50表2北京住房公积金管理中心住房公积金贷款等额均还月还款额参考表贷款期限(年)年贷款利率(%)月均还款额(元)本息总额(元)14.00851.51021824.00434.251042234.00295.2410628.6444.00225.7910837.9254.00184.1711050.264.50158.7411429.2874.501391167684.50124.2311926.0894.50112.7812180.24104.50103.6412436.8114.5096.1912697.08124.509012960134.5084.7913227.24144.5080.3413497.12154.5076.513770164.5073.1614046.72174.5070.2214324.88184.5067.6314608.08194.5065.3314895.24204.5063.2615182.4214.5061.4115475.32224.5059.7415771.36234.5058.2216068.72244.5056.8416369.92254.5055.5816674264.5054.4316982.16274.5053.3717291.88284.5052.417606.4294.5051.517922304.5050.6718241.2目前房贷还款有多种方式，一些银行还在不断推出房贷还款的组合品种，适用于不同的贷款者。目前，银行的个人住房贷款的还款方式主要有等额本息和等额本金两种方式。等额本息是本金逐月递增，利息逐月递减，月还款数不变。等额本金是本金保持相同，利息逐月递减，月还款数递减。适合于有计划提前还贷。利息少的是等额本金方式的还款。二者的主要区别在于，前者每期还款金额相同，即每月本金加利息总额相同，客户还贷压力均衡，但利息负担相对较多；后者又叫“递减还款法”,每月本金相同,利息不同,前期还款压力大,但以后的还款金额逐渐递减,利息总负担较少。等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。等额本息是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。总体来看，“等额本息”是会比“等额本金”多付一些利息。以1万元20年期贷款为标准，前者会比后者多支付800多元的利息。40万20年期的贷款，则要多支付800×40=32000元的利息。二、实验目的1、了解差分与差分方程的概念；2、掌握用差分方程解决实际问题的原理方法。三、预备知识1、差分的定义定义：设y=y(x)是一个函数，自变量从x变化到x+1，这时函数f(x)的增量记为△yx=y(x+1)-y(x)，我们称这个量为y(x)在点x步长为1的一阶差分，简称为y(x)的一阶差分。为了方便，我们也记yx+1=y(x+1),yx=y(x),即△yx=yx+1-yx.称△(△yx)=△yx+1-△yx=yx+2-2yx+1+yx为y(x)的二阶差分，简称为△2yx。类似，记△nyx为y(x)的n阶差分。性质：当a,b,C是常数，yx和zx是函数时，（1）△C=0（2）△(Cyx)=C△yx（3）△(ayx+bzx)=a△yx+b△zx（4）△(yxzx)=zx+1△yx+yx△zx=yx+1△zx+zx△yx（5）△(yx/zx)=(zx△yx-yx△zx)/(zxzx+1)=(zx+1△yx-yx+1△zx)/(zxzx+1)2、差分方程定义：含有未知函数的差分或含有未知函数几个不同时期值的符号的方程成为差分方程。它的一般形式为F(x,yx,yx+1,…,yx+n)=0或G(x,yx,△yx,…,△nyx)=0,其中，F,G是表达式，x是自变量。使等式成立的自变量的取值范围称为该方程的定义域。四、实验过程由于贷款是逐月归还的，因此有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元，则由Ak变化到Ak+1，除了还款额外，还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月，当然应该是月利率，设为r，从而得到Ak+1-Ak=rAk—m（1）或者Ak+1=(1+r)Ak—m,k=0,1,2,…（2）初始条件A0=10000这就是问题的数学模型。其中，月利率采用将年利率按月进行平均，即r月利率=r年利率/12（3）若m是已知的，则由式(2)可以求出Ak中的每一项，称式(2)为一阶差分方程。1、月还款额二年期的贷款在24个月时还清，即A24=0（4）为求m的值，设Bk=Ak-Ak-1,k=1,2,…（5）易见Bk+1=(1+r)Bk（6）于是到处Bk的表达式Bk=B1(1+r)k-1（7）由式（5）和式（7）得，Ak-A0=B1+B2+…+Bk=B1[1+(1+r)+…+(1+r)k-1]=(A1-A0)[(1+r)n-1]/r=[(1+r)A0-m-A0][(1+r)n-1]/r从而得到差分方程（2）的解为，Ak=A0(1+r)k—m[(1+r)k-1]/r（8）将A24，A0，r的值和k=24，代入得到m=434.25（元），与表2中的数据完全一致，这样我们就了解了还款额的确定方法。求解程序如下：mm=solve('Ak=A0*(1+r)^k-m*((1+r)^k-1)/r','m');Ak=0;A0=10000;r=0.04/12;k=24;m=subs(mm)%月还款额y=m*12%年还款额sum=m*k%本息总额m=434.2492y=5.2110e+003sum=1.0422e+0042、还款周期考虑个人住房贷款采用逐年归还的方法，仍然以二年期贷款为例，显然，只要对式（8）中的月利率用年利率代替，那么由k=2,A2=0,A0=10000，则可以求出年还款额应为mm=solve('Ak=A0*(1+r)^k-m*((1+r)^k-1)/r','m');Ak=0;A0=10000;r=0.04;k=2;m=subs(mm)%年还款额sum=m*k%本息总额m=5.3020e+003sum=1.0604e+004考虑到人们的收入一般都是以月薪方式获得，因此逐月归还对贷款者来说比较合适。五、实验练习1、个人住房公积金贷款采用逐月等额本息还款方法，当贷款金额为230万元时，贷款期限为1,2,3,…,30年时，月还款额分别是多少？要求：（1）利用前文Matlab程序mm=solve('Ak=A0*(1+r)^k-m*((1+r)^k-1)/r','m')，编写程序，计算出还款期限为10到30年时，相应的本息总额和月还款额。（2）利用函数（比如，fprintf）输出结果，比如“还款期限为1年时，本息总额为---，月还款额为---”2、个人住房公积金贷款采用逐月等额本金还款方法，当本金10000元，贷款期限分别为1年、5年和10年时，月还款额分别为多少？本息总额分别是多少？其中，等额本金贷款计算公式如下：每月还款金额=（贷款本金/还款月数）+（本金—已归还本金累计额）×每月利率要求：（1）利用循环语句求解；（2）利用函数（比如，fprintf）输出结果，比如“还款期限为1年时，本息总额为---，第1个月的月还款额是--”注意：1、周一晚12点之前提交作业至[e-mail]，过期不候，取消此次平时成绩；2、程序全部复制到word中，不要用matlab的M文件或压缩文件提交，文件名和邮件名的命名格式均为：专业-姓名。