量子信息导论习题

量子信息导论第一次习题课陈哲2017.10.14第一章补充习题1•给定事件集合X={x1,x2,...,xn}及相应的概率P={p1,p2,...,pn}，证明该事件集的联合熵满足H(X)≤log2(n)。•H(X)=−𝑝𝑖log𝑝𝑖𝑛𝑖=1,•𝑝𝑖𝑛𝑖=1=1•限制定义域的函数极值问题——拉格朗日乘子法•F=−𝑝𝑖log𝑝𝑖𝑛𝑖=1+λ(𝑝𝑖𝑛𝑖=1−1)𝜕𝐹𝜕𝑝𝑖=-log𝑝𝑖-1+λ𝑝𝑖=𝑝𝑗𝜕𝐹𝜕λ=𝑝𝑖𝑛𝑖=1−1𝑝𝑖=1𝑛带入H(X)求得极值log2(n)，★验证是最大值！第一章补充习题2•对任意给定的事件集X1、X2及系数0≤a≤1，证明香农熵的上凸性，即•aH(X1)+(1−a)H(X2)≤H[aX1+(1−a)X2]•事件集求和的定义？i)aX1+(1−a)X2：{𝑥11𝑥12…𝑥1n𝑥21𝑥22…𝑥2m}对应概率{a𝑝11a𝑝12…a𝑝1n(1−a)𝑝21(1−a)𝑝22…(1−a)𝑝2m}ii){𝑥1𝑥2…𝑥n}，对应概率{a𝑝11+(1−a)𝑝21，a𝑝12+(1−a)𝑝22，…a𝑝1n+(1−a)𝑝2n}不等式证明数学细节略过第一章补充习题3•证明联合熵的链式法则:•H(X1X2...Xn)=H(X1)+H(X2∣X1)+...+H(XN∣(X1X2...XN−1))•二事件情形：•H(XY)=−𝑝𝑥𝑖𝑦𝑗log𝑝𝑥𝑖𝑦𝑗,𝑝𝑥𝑖𝑦𝑗=𝑝𝑦𝑗𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗=−𝑝𝑦𝑗𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗log𝑝𝑦𝑗𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗=−𝑝𝑦𝑗𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗log𝑝𝑦𝑗−𝑝𝑦𝑗𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗log𝑝𝑥𝑖|𝑦𝑗=H(Y)+H(X|Y)反复把X1X2……Xi-1当作Y即可得到结论第一章补充习题4•复习矩阵上三角化的Schur定理•并以此为基础论证厄密矩阵的谱分解性质，即任意厄密矩阵A，总可以幺正对角化成一个实对角矩阵；再把本征向量表示成dirac记号，从而把A简单表示讲义上的成dirac记号的形式。•Schur定理：方阵A酉相似于上三角阵A是厄密矩阵的情形:𝐴†=(𝑈𝑇𝑈†)†=𝑈(𝑈𝑇𝑈†𝑈†=𝐴=𝑈𝑇𝑈†两边乘以𝑈,𝑈†可以得到上三角阵𝑇=𝑇†，即T是实对角阵记U=(|1,|2,|3…|𝑛),T=diag(a1,a2,…,an),即可得到dirac形式第一章作业1•计算二元对称信道的信道容量。二元对称信道•X——————————Y0p0设P(x=1)=p01-pI(X:Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)=H(Y)-H(Y|X)1-p=H(Y)+plogp+(1-p)log(1-p)1p1C=max{p0}I=maxH(Y)+plogp+(1-p)log(1-p)第一章作业2•空间H中存在两组正交归一化态{|𝜑𝑖}{|𝜑𝑖}.则存在幺正变换U使得U|𝜑𝑖=|𝜑𝑖.试构造出该变换.𝑈𝑖𝑗=𝜑𝑖U|𝜑𝑗=𝜑𝑖|𝜑𝑗•U=𝑖,𝑗𝜑𝑖|𝜑𝑗𝜑𝑖𝜑𝑗=𝑗𝜑𝑗𝜑𝑗•𝑈𝑈†=𝑖,𝑗|𝜑𝑖𝜑𝑖|𝜑𝑗𝜑𝑗=𝐼第一章作业3•空间H中存在两组归一化态{|𝜑𝑖}{|𝜑𝑖}.•满足𝜑𝑖𝜑𝑗=𝜑𝑖𝜑𝑗•则存在幺正变换U使得U|𝜑𝑖=|𝜑𝑖.试构造出该变换.Schmidt正交化：系数仅与𝜑𝑖𝜑𝑗有关•化归为作业2第一章作业4•对两比特态•|ϕ=12|0𝐴12|0𝐵+32|1𝐵+12|1𝐴32|0𝐵+12|1𝐵i)求约化密度矩阵；ii)求的Schmidt分解形式.𝜌𝐴=𝑡𝑟𝐵(|ϕϕ|)=1/23/43/41/2=−2/22/22/22/2(2−3)/400(2+3)/4−2/22/22/22/2第一章作业5•对三粒子系统纯态，在空间中是否存在中的正交基，使得•|ϕ𝐴𝐵𝐶=𝑝𝑖𝑖|𝑖𝐴|𝑖𝐵|𝑖𝐶•一定成立?给出理由。不一定•|ϕ𝐴𝐵𝐶=𝑝𝑖𝑖|𝑖𝐴|𝑖𝐵C•|𝑖𝐵𝐶=𝑝𝑖j𝑗|𝑖𝑗B|𝑖𝑗C--仅j只有一项时,满足题给的形式•举个例子•|ϕ=12|0𝐴12|0𝐵+32|1𝐵|0C+12|1𝐴32|0𝐵+12|1𝐵|0C第一章作业6•设|Ψ为量子态，在Bloch球面上均匀随机分布i)随机的猜想一个态|ϕ，求猜测态相对于|Ψ的平均保真度ii)对此量子态做正交测量{𝑃↑,𝑃↓}，测量后系统被制备到ρ,求ρ与原来态|Ψ的平均保真度先猜|ϕ,然后对|Ψ平均•|Ψ=cos𝜃/2|0+𝑒𝑖𝜑sin𝜃/2|1•|ϕ=cos𝜃′/2|0+𝑒𝑖𝜑′sin𝜃′/2|1•|Ψϕ|2=𝑐𝑜𝑠2𝜃2𝑐𝑜𝑠2𝜃’2+𝑠𝑖𝑛2𝜃2𝑠𝑖𝑛2𝜃’2•𝐹=𝑐𝑜𝑠2𝜃2𝑐𝑜𝑠2𝜃’2+𝑠𝑖𝑛2𝜃2𝑠𝑖𝑛2𝜃’2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑/4𝜋•第二问同理,P↑=𝑐𝑜𝑠2𝜃’2𝑒𝑖𝜑′𝑠𝑖𝑛𝜃’2𝑐𝑜𝑠𝜃’2𝑒−𝑖𝜑′𝑠𝑖𝑛𝜃’2𝑐𝑜𝑠𝜃’2𝑠𝑖𝑛2𝜃’2