生活中的数学模型

80-1生活中的数学建模郝志峰广东工业大学、2019年12月24日全国研究生数学建模竞赛颁奖会议80-2什么是建模？纸飞机共产主义-列宁数学建模-数学技术80-3一、设计围棋的指标二、挖掘指标的金矿四、指标联想和应用80-4围棋是东亚人民喜爱的智力活动,长久以来,人们一直认为19×19＝361个点所构成的网状存在着许多奥妙和争论。其中之一是关于贴目问题：中国贴子，日本贴5目半，应氏规则贴7目，都共存于各项比赛中。当然还有一个更令人瞠目的问题：为什么围棋盘是十九行、十九列呢?你会说对称，否则一长一宽没有趣味了。那么为什么是十九呢?有老人解释说：十二星宿加上北斗七星。但这哄孩子可以，哄你大概不行，你可能会刨根向底问个不休。3241、设计围棋的指标80-5围棋的两个竞赛对策是成活、围空。我们先来讨论成活，若比较在各线上成活速度(即用最少的子来得到必活的棋形)，我们有：28N37N48N510N1、设计围棋的指标80-6这说明从成活的角度讲，三线的价值很大，再比较围空，我们定义围空的效率(即所围的目数/所用的棋子),则有，，，。因此从围空的角度而言，四线是唯一可以和三线竞争的下法。当然围棋界有“金角、银边”等说法。当然，从体育竞争和游戏的角度而言，要使双方比赛精彩激烈，走三线和四线的价值要尽量接近(细微的部分可采用贴目方式进行)。2P=5/83P=6/74P=6/85P=8/101、设计围棋的指标80-7假设围棋有n行、n列。由于走四线、围中空要有价值，所以n不能太小；另外由于围棋子也不能太多，所以n不能太大，不妨设11≤n≤30(40?)。我们要使得走三线的价值和走四线的价值的值尽量接近，记：，这里3P4P43E(n)=P(n)-P(n)注意是关于n的减函数.34(2)2()4(5)nPnn24(8)()4(7)nPnn36()25Pnn1、设计围棋的指标80-84P(n)4P(n)43P(19)P(19)13612141448y＝得y=5.2(目),这又解释了中国规则和日本规则可导，且已知n≥11，故导数为正，这时为增函数，于是E(n)为增函数。由介值定理关于E(n)=0只有一个解，考虑E(18)=－0.1888，E(19)=0.092，这样在(18,19)之间必有一根，最接近这个根的是E(19),这样问题1意外地解决了。问题1的解决极大地鼓舞我们继续考虑贴几目地问题，当n＝19时，。这说明四线围空效率稍高，需贴目。假设贴y目,则有4P(n)1、设计围棋的指标80-9那么应氏规则又从何说起呢?在我们所建立的模型里四个“三三”和四个“四四”的点对围空未起到本质的作用，只能算作实子或防止对方切断的一手，于是所用棋子可减四目，于是有：'3136(19)4144P'4121(19)4124P所贴目数为：1361215244z得到：z≈7，这与应氏规则是相近的。1、设计围棋的指标80-10一、设计围棋的指标二、挖掘指标的金矿四、指标联想和应用80-11一个股份公司通常由若干个股东组成，如果某一个股东想占据该股份公司的领导地位，那么一个熟悉的想法是该股东控制超过50%的股权。但事实却是有许多股份公司的领导者并没有控制那么多。例如在2019年盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份时，所收购的股本数只占总股本数的19.5%,却实现了成功收购。2、挖掘指标的金矿80-12另一个例子是美国通用汽车公司的第一大股本福特家族也只占有该公司15%的股本。但也控制了整个公司。这样，一个自然而然的问题是：如何估计某种势力在股东大会中所在的“权重”？2、挖掘指标的金矿80-13在原来我们所认为需50%的想法中。隐含着这样一个前提，即其他的股东都是您的反对者，这是一个极端的情形，也是我们一种自我孤立的意识在作怪。这样我们开始转换思维，考虑联盟的情形，这也符合实际，一部分股东因某种共同利益而实行联合。2、挖掘指标的金矿—问题的分析80-14首先我们介绍加权多数对策：设[g,w1,w2,…,wn]，这里有n个股东，用wi是表示股东i所持有股本，假定是非负的。设N={1,2,…,n}是所有股东集合，N的一个子集S称为股东联盟。一个联盟赢得一次表决，是指wi1+wi2+…+wik=g这里S={i1,i2,…,ik}2、挖掘指标的金矿—数学的分析之一80-15这一部分我们将会认同这样一个现实：占有更多的股本并不一定增加其势力（当然不会减少），也不一定是以一种正比例方式增加其势力。2、挖掘指标的金矿—若干实例80-16“哑元”现象在对策[50；51,14,13,12,10]中第一个股东无需他人合作即可取胜，因而股东2,3,4,5尽管持有股本，但势力为0，这时称股东2,3,4,5为“哑元”。这时观察对策[51；26,26,26,22]，最后一个股东也是毫无势力的，因为任何一个取胜联盟若含有他，那么去掉他时联盟依旧能取胜。因此最后一个股东也是“哑元”。2、挖掘指标的金矿—实例一80-17同等势力在对策[2；1,1,1]，[50；49,48,3]中的势力是相同的，因为他们给出相同的取胜联盟。其中第三个对策说明了位居第三的小股东也有潜在的价值。2、挖掘指标的金矿—实例二之一80-18如果将这一想法应用于政治，也可以解释为什么大富翁佩罗会两次参加美国总统的选举。尤其是他第一次参加的布什、克林顿、佩罗的三人选举中（假设为[50；49,48,3]）。通过此获取的势力，嬴得了数倍投资于竞选的资本。2、挖掘指标的金矿—实例二之二80-19建模分析80-20在对策[g,w1,w2,…,wn]中定义gi为第i个股东的势力指标，它需满足以下五点：①gi≥0；②gi=0当且仅当i是哑元；③若i与j在取胜联盟中地位相同，则gi=gj；④若wiwj，则gi≥gj；⑤g1+g2+…+gn=1。2、挖掘指标的金矿—数学的分析之二80-21Shapley_Shubik指标：iig是关键人的排列次数n!2、挖掘指标的金矿—数学的分析之三80-22对策[51;40,30,20,10]的四个股东1,2,3,4共有下面24种排列“*”表示该股东在取胜联盟中是关键人。12*3421*3431*24412*312*4321*4331*42413*213*24231*4321*4421*313*42234*1324*1423*1142*3241*3341*2431*2143*2243*1342*1432*12、挖掘指标的金矿—数学的分析之四80-23于是我们得到g1=g2=g3=g4=10246246242242、挖掘指标的金矿—数学的分析之四80-24股份公司中的大股东设一公司有一大股东A，他控制着40%的股票，假设其余的股票平均分配在另外60个股东手中，每人占1%。通过一项决议需50%的赞成票。这时通过计算这个对策中的Shapley-Shubik势力指标，该大股东的势力为40/61。现仍假设A控制着40%的股票，但其余的股票平均分配在另外600个股东手中，每人占0.1%，此时A的势力为400/601。而且随着小股东人数的不断增大，A的势力份额将趋于2/3。这个例子解释了为什么收购一个股份公司，并不一定占据50%的股票。以盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份为例，盛大只控制了19.5%的股票，而其余股东，最大的不过占据了4.96%的股票。这就是一个有趣的例子。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之一80-25“团结并不永远意味着力量”在实际生活中，人们经常以搓草绳为例来告诫人们，一根稻草微不足道，一拉就断。但搓成草绳后却力量大增，从而得出结论：团结就是力量。这样在二次大战后，在欧洲大陆，形成了北大西洋公约组织和华沙条约组织这两个集团势力。但1955年，周恩来总理在万隆会议上提出的著名的“和平共处”五项原则中有一条“独立自主”的口号，这从表面上看似乎与“联盟”存在着差异。但在这里我们将通过一个实例，试图给出“独立自主”的诠释。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之二80-26假设一个对策为[5;3,3,1,1,1]，另一个对策将3个1形成联盟成为对策[5;3,3,3]。注意到前一个对策的Shapley_Shubik势力指标为{3/10,3/10,4/30,4/30,4/30}。而后一个对策的Shapley_Shubik势力指标为{1/3,1/3,1/9,1/9,1/9}。后一个对策分配到每个1所占的势力为1/9。哦！“独立自主”使您的势力增大。请您记住，“独立自主”也是一种很好的外交手段，尤其是没有占据主导地位的时候。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之二80-27联合国安理会的例子2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-28联合国安理会的例子现在的联合国安理会由5个常任理事国和10个非常任理事国组成。5个常任理事国是中国、法国、俄罗斯（1991年12月苏联解体后席位由俄罗斯联邦接替）、英国、美国。非常任理事国由联合国大会选举产生，最初为6个，1965年开始增加到10个，席位按地区分配，即亚洲2个、非洲3个、拉美2个、东欧1个、西欧及其他国家2个。非常任理事国任期2年，经选举每年更换5个，不能连选连任。根据地域分配原则，每次新选出的5个成员国中应包括来自亚洲和非洲的3个国家、1个东欧国家和1个拉美或加勒比地区国家。每个理事国成员都具有否决权，而十个非常任理事国每两年轮流变动一次。在安理会中通过一项决议需有九票以上，其中五个常任理事国需全部投赞成票，再加上至少四个非常任理事国投赞成票。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-29对于这一对策系统，记为：[g;a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b]根据已知条件：5a+4b=g,4a+10b5a+4b.由第二个不等式可得a6b.于是可令b=1,a=7.这样求得g=39.对于[39;7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-30这一对策可求得对每个常任理事国其势力指标为0.1963；而每个非常任理事国的势力指标为0.001863。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-31现在的联合国安理会的组成模式形成于1965年。在1965年之前，安理会是由五个常任理事国和六个非常任理事国组成，通过一项决议需七票以上，其中五个常任理事国全部投赞成票。再加上至少两个非常任理事国投赞成票。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-32提示：对于这一对策，用上面类似的方法可以求得对策系统是[27;5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1]，同样可求得1963年之前每个常任理事国的势力指标为0.1974。每个非常任理事国的势力指标为0.002165。这表明对于1963年的改革。使得安理会理事国成员的势力指标下降了。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-332、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-34现在有一个设想，即将来的安理会组成中，增加德国、日本、印度和巴西这四个国家作为常任理事国，具有否决权，这些国家有的现在对联合国的经济资助已超过法国和英国，有的人口众多。请您设计将来的安理会所组成的这一对策，并求得常任理事国和非常任理事国的势力指标。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-35日本等五国当选安理会非常任理事国中新社联合国十月十七日电(记者李静)第六十三届联合国大会十七日召开全体会议，投票选出奥地利、日本、墨西哥、土耳其、乌干达等五个国家为安理会非常任理事国。日本当选非常任理事国，上述五国将取代目前十个安理会非常任理事国中的比利时、印度尼西亚、意大利、巴拿马和南非，自二00九年一月一日始就任，任期两年。在当日联大投票中，日本获得一百五十八票，击败伊朗获得亚洲组的席位。这是日本第十次当选安理会非常任理事国。2、挖掘指标的金矿—案例的分析之三80-36欧洲及其他地区组两个席位的竞争在奥地利、土耳其和冰岛之间展开，土耳其和奥地利分别以一百五十一票和一百三十三票胜出。乌干达和墨西哥由于各自在非洲组和拉美及加勒