含参数的一元二次不等式的解法

回顾：解一元二次不等式的一般步骤是什么?二求——求对应方程的根三画——画出对应函数的图像一判——判断对应方程的根的情况(△=b2-4ac)，能因式分解的因式分解，不用判断四解集——根据图像及不等号方向写出不等式的解集2-3+19-60xx如：求不等式的解集23-19+60xx3-1)(-6)0xx（分析：1213-1)(-6)=03xxxx相对应方程（的根=,=6163不等式的解集（,）2+(-1)-0(0)xaxaa解不等式例1这个不等式和前面那个不等式有什么不同的地方？含参数的不等式的解法对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。一元一次不等式ax+b0(0)参数划分标准：一元二次不等式ax2+bx+c0(0)参数划分标准：（2）判别式△0,△=0,△0（3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小，x1x2，x1=x2，x1x2一次项系数a0,a=0,a0（1）二次项系数a0,a=0,a0121,xxa00aa-a1--)(1,+)a不等式的解集为（，相对应一元二次方程的两根1)()0xxa（解析：原不等式等价于2+(-1)-0(0)xaxaa解不等式例12+(-1)-0()xaxaaR变式：解不等式-a1-a(-a)(1)-a12-a=1(3)-a1（）121,xxa1)()0xxa（解析：原不等式等价于相对应一元二次方程的两根解:原不等式可化为：0)3(2axax相应方程的两根为0)3(2axaxaxax3,221(1)当即时，原不等式解集为23aa0a|23xxaxa或(3)当即时，原不等式解集为0a23aa|32xxaxa或综上所述：0|23axxaxa时，原不等式解集为：或0|32axxaxa时，原不等式解集为：或解关于x的不等式：06522aaxx0|xx(2)当即时，原不等式解集为0aaa320|xx时，原不等式解集为0a例22+(-1)-10()xaxaR解不等式a二次项含有参数应如何求解？含参数的一元二次不等式考点x1x2xyO2+(-1)-10()xaxaR解不等式axx1x2yO若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为则a＋b的值为()A.－14B.－15C.－16D.－1711{},23xx例1解关于的不等式:x220xkxk例3例题讲解例3:解关于的不等式:x220xkxk原不等式解集为解：228844kkkkkkxx由于的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.2x28kk（１）当即时，280kk80k原不等式解集为（２）当时得280kk08kk或0xx解集为：2xx解集为：分析:（３)当即时,280kk08kk或∴(a)当时,原不等式即为0k022x∴(b)当时,原不等式即为8k08822xx(3)当时,不等式解集为80k0xx(4)当时,不等式解集为0k(2)当时,不等式解集为2xx8k综上所述，(1)当时,不等式解集为8k228844kkkkkkxx228844kkkkkkxx(5)当时,不等式解集为0k解不等式042axx解：∵162a4,40a当即时R∴原不等式解集为；40a当即时,2axxRx且原不等式解集为；440aa当或即时，,此时两根分别为21621aax21622aax，显然21xx,∴原不等式的解集为：21621622aaxaaxx〈或例4：例题讲解成果验收相信我能行！21-a)460{-31},a.xxx若不等式（的解集是求实数的值课堂练习：已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb},(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.解:(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.解:(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.解:(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.解:(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.解:(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.知能迁移1探究提高(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.综上,当c2时,原不等式的解集为{x|2xc}；当c2时,原不等式的解集为{x|cx2}；当c＝2时,原不等式的解集为∅.(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．CxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11AaxBxa．＜＜．＜＜11aa1101,x()0aaxa、若则不等式（）的解是（）A练习一1{|1}axax时，不等式的解集为1a时，不等式的解集为1{|1}axxa时，不等式的解集为0122＜的不等式：、解关于axaxx探究二解关于x不等式：0122xaax解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+10解:1{|1}xxa即时，原不等式的解集为：1a①当11a（二）当a≠0时,原不等式为一元二次不等式，可变形：（一）当a=0时,原不等式即为-x+10，0)1)(1(xax（1)当时，原不等式的解集为：0a1{|1}xxxa或（2)当时，有：0a1{|1}xxa11a③当即时，原不等式的集为：10a11a②当即时，原不等式的解集为：1a{|1}.xx解集为：对应的方程两根为x1=x2=1a1练习二综上所述，(5)当时，原不等式的解集为11xxxa或(2)当时，原不等式的解集为0a1xx11xxa(4)当时，原不等式的解集为1a(3)当时，原不等式的解集为10a1a11xxa(1)当时，原不等式的解集为0a解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。(2)因式分解，求出相对应方程的根，不能确定根的大小时，应讨论方程两根的大小关系，从而确定解集。例1不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.分析：开口向下，且与x轴无交点。解：由题目条件知：(1)a＜0，且△＜0.因此a＜-1/3。（2）a=0时，不等式为-x-1＜0不符合题意。综上所述：a的取值范围是31|aa二次不等式ax²+bx+c0的解集是全体实数的条件是______.a0时，⊿＝b²-4ac0练习.1若集合A={x|ax2-ax+10}=,则实数a的取值范围是（）A.{a|0a4}B.{a|0≤a4}C.{a|0a≤4}D.{a|0≤a≤4}解析若a=0时符合题意，a0时，相应二次方程中的Δ=a2-4a≤0,解得0a≤4,综上得{a|0≤a≤4}.Da【2】如果a≠0,函数的定义域为R,则实数a的取值范围是________.12a23()log()fxaxxa20axxa对一切实数x恒成立，20,140.aa或0,11,22aaa【例2】（12分）已知不等式mx2-2x-m+10.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.（1）由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解.（2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式，利用其解集为［-2，2］，求参数x的范围.思维启迪解（1）不等式mx2-2x-m+10恒成立，即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时，1-2x0,即当x时，不等式恒成立,不满足题意；3分当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即综上可知不存在这样的m.6分21.,0)1(440无解则mmmm(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式,可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围.7分设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，分即9②0122①0322,0)2(0)2(22xxxxff分的取值范围为分得由得解或得解12231271-11231271-①②231231②271271①}.|{..,,,xxxxxxx【1】若对于任意(1,1]a，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于0，则x的取值范围是________________________．13xx或≥2()(2)44gaxaxx≥(1)0(1)0gg此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例3.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤2()29,[2,3],gxxxx记min()(3)9,gxg9.m≤【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx2981()2(),[2,3]