线性代数-向量

1.矩阵的概念：定义、特殊矩阵（阶梯）2.矩阵的运算：乘积，转置3.方阵的行列式及其性质：性质、求法、伴随矩阵、克莱姆法则4.初等变换与矩阵的秩：初等变换、等价、秩5.初等矩阵与逆矩阵：性质、逆求法6.分块矩阵：1第一章：矩阵：回顾第二章n维向量理解n维向量的定义,掌握向量的线性运算理解向量组线性相关、线性无关的定义，并掌握其相关理论理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义，并熟练掌握向量组的秩和极大线性无关组的求法理解向量的内积和正交的定义，掌握线性无关向量组正交规范化方法和正交矩阵的判定以及性质理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标、过度阵等概念，掌握其计算方法nn维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、n维向量的概念维向量，简称为向量。组成的有序数组，称为由数naaan,2,1等表示。母向量通常用斜体希腊字γβα,,),,,,(21naaa=1.定义1:α行向量Tnnaaaaaa),,,(2121=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=α列向量ia第i个分量第二章第二章分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,2,1),,,(21miaaainii=Tmjjjmjjjaaaaaa),,,(2121=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nj,,2,1=矩阵A的行向量矩阵A的列向量0=(0,0,···,0)),,,(21naaa−−−=−α⎩⎨⎧==⇔=.,,2,1,nibaii维数相同，即同型。βα零向量负向量注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；2．当没有明确说明是行向量还是列向量时，一般当作列向量.3．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；向量加法：向量()1122,,,nnabababγ=+++称为向量()12,,,naaaα=()12,,,nbbbβ=的和，记为γαβ=+向量减法：()αβαβ−=+−数乘向量：设k为数域P中的数，向量()12,,,nkakaka称为向量()12,,,naaaα=与数k的数量乘积。记为kα二、n维向量的线性运算线性运算满足8条运算规律.(1)αββα＋＝＋(2)()()αβγαβγ++＋＝＋(3)000αα＋＝＋＝(5)αα⋅1＝(4)(-)0αα＋＝(6)()()klklαα＝(7)()kkkαββα＋＝＋(8)()klklααα+＝＋注：（1）对任意的向量,α存在唯一的零向量,o使得oαα+=（2）对任意的向量,α存在唯一的负向量,α−使得()oαα+−=（4）如果0,λα=则00λα==或00;(1);00.αααλ=−=−=（3）定义2:内积121211(,,,),(,,,)(,)nnnnaaabbbnababαβαβαβαβ==+⋅设都是维向量则实数称为向量与的，记作或内积111nnniiiabababαβ=+=∑即(,)=αβ当和都表示行向量时，用矩阵运算得到(,)TTαβαββα=＝αβ当和都表示列向量时，用矩阵运算得到(,)TTαβαββα=＝三维向量的内积定义引入力的做功性质性质αββα（1）(,)＝(,),)(,kkαβαβ（2）(＝),αβγαγβγ+（3）()＝(,)+(,)定义3:。记为的长度或范数或模称为向量数值ααα,),,,,(2222121nnaaaaaa+++=为单位向量。称αα1=)21,21(),31,31,31(==βα).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21===neee||||||||αβαβ≤Then(,)性质性质::0||||0;0||||0αααα≠==当时，当时，||||||||||kkαα=||||||||||||αβαβ+≤+2CauchySchwarzαβααββ−≤inequality(,)(,)(,)定义定义4:4:||||0,||||0(,)arccos||||||||αβαβαβθαβ≠≠当,定义和的夹角＝()().1,5,1,33,2,2,1的夹角与求向量==βα例解βαβαθ⋅=cos∵.4πθ=∴向量组的线性相关性线性相关性的定义1.定义1:使，，若存在一组数设向量mmkkk,,,,,,2121αααβmmkkkαααβ+++=2211线性表示，可由向量则称向量mαααβ,,,21的线性组合。是向量或称向量mαααβ,,,21121122(,,,)nnnaaaaeaeaeα==+++321ααααzyx++=),,(zyx=例向量α是下列向量的线性组合.)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα例向量)3,2(=α就不是向量)0,1(),0,1(21−==αα的线性组合。因对任意的αλλ≠+2211aa,,21λλ注意：1，零向量可以由任何向量组线性表示120000mααα=++2，向量组中的任何一个向量都可以由整个向量组线性表示。12,mααα120010iimααααα=++向量组------同维数的向量所组成的集合向量组中各元素间的关系如何2.定义2:使，零的数，若存在一组不全为设向量组mmkkk,,,,,2121ααα=+++mmkkkααα22110线性相关。则称向量组mααα,,,21线性无关。称向量组mααα,,,21否则(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3)任一含有零向量的向量组线性相关.(1)当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.3.讨论向量组的相关性：*注注的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1321−=−=−=ααα解：=++332211αααkkkO设042321=++⇒kkk032321=+−kkk0321=−+−kkk系数行列式为111132421−−−1412823−+−+−=0=方程组有非零解，即有非零的数使321,,kkk=++332211αααkkkO线性相关。321,,ααα⇒故的相关性。，讨论向量组线性无关，：设向量组例321133322211321,,,,,,2βββααβααβααβααα+=+=+=解：即=++332211βββkkk设O=+++++332221131)()()(αααkkkkkkO线性无关，321,,ααα⇒031=+kk021=+kk032=+kk⇒0321===kkk.,,321线性无关βββ⇒定理：n个n维向量线性相关111212122212nnnnnsaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠111211(,,)naaaα=212222(,,)naaaα=12(,,)nnnnnaaaα=的行列式值为0).1(,,,,,3212121−−−+++=mmmm线性无关，证明向量组线性无关，且：设向量组例αβαβαβαααβααα=−++−+−)()()(:2211mmkkkαβαβαβ设证O⇒+++=mαααβ21由1221311()()()mmmmkkkααααααα−++++++++++=O2113211()()()mmmmkkkkkkkααα−++++++++++=O即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=++−00011312mmmkkkkkkk系数行列式为011101110)1(0)1)(1(1≠−−=−mmm线性无关。，向量组mαβαβαβ−−−∴,,21向量组的等价1.定义1:设有两个n维向量组s21r21,,,:)(,,,:)(βββαααIII若向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I）与向量组（II）等价。例1：设n维向量组,,,,n21ααα可由它n21,,,eee们线性表示，证明与n21,,,ααα等价。n21,,,eee证：线性表示，显然可由n21n21,,,,,,eee∵ααα又由题设可由n21,,,eee线性表示，n21,,,ααα等价。与n21n21,,,,,,eeeααα∴1)反身性：任何向量组均与自己等价；2)对称性3)传递性1212,,,,,,rsαααβββ若与等价，1212,,,,,,srβββααα则与等价；1212,,,,,,rsαααβββ若与等价，1212,,,,,,stβββγγγ且与等价，1212,,,,,,rtαααγγγ则与等价.向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理各向量线性表示。余至少有一个向量可由其其中线性相关的充要条件是，，，：向量组定理1)2(121−≥mmmααα证：⇒使，，，在一组不全为零的数线性相关，则一定存，，，若向量组,)2(2121mmkkkm≥ααα=+++mmkkkααα22110，于是有：不妨设01≠kmmkkkkααα12121−−−=⇐不妨设mmkkααα++=221=+++−⇒mmkkααα221O线性相关。，，，即向量组)2(21≥mmααα。线性表示且表示式惟一，，，可由线性相关，则，，，，线性无关，而向量组，，，：设向量组定理mmmαααβαααβααα2121212证：使，，，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，，，向量组,,,2121mmkkkk∵αααβ=++++mmkkkkαααβ22110，否则，有这里必有0≠k=+++mmkkkααα22110线性无关知：，，，由向量组mααα21021====mkkk线性表示。，，，可由故mαααβ21mmkkkαααβ+++=2211设mmlllαααβ+++=2211}⇒=−++−+−mmmlklklkααα)()()(222111O线性无关知：，，，由向量组mααα21.,,2,1,milkii==所以表示式惟一。