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数学李老师qq:29576151461几何证明:【例1】.已知:如图6,△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形,且BEAD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵∠BCE=90°∠ACD=90°在△ECB和△ACD中∠BCE=∠BCA+∠ACEBE=AD∠ACD=∠ACE+∠ECD∠BCE=∠ACD∴∠ACB=∠ECDEC=CD∵△ECD为等边三角形∴△ECB≌△DCA(HL)∴∠ECD=60°CD=EC∴BC=AC即ACB==60°∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形[例2】、如图,已知BCAB,AD=DC。BD平分∠ABC。求证:∠A+∠C=180°.证明:在BC上截取BE=BA,连接DE,∴∠A=∠BEDAD=DE∵BD平分∠BAC∵AD=DC∴∠ABD=∠EBD∴DE=DC在△ABD和△EBD中得∠DEC=∠CAB=EB∵∠BED+∠DEC=180°∠ABD=∠EBD∴∠A+∠C=180°BD=BD△ABD≌△EBD(SAS)1、线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。①倍长中线【例.3】如图,已知在△ABC中,90C,30B,AD平分BAC,交BC于点D.求证:2BDCD证明:延长DC到E,使得CE=CD,联结AE∵∠ADE=60°AD=AE∵∠C=90°∴△ADE为等边三角形∴AC⊥CD∴AD=DE∵CD=CE∵DB=DA∴AD=AE∴BD=DE∵∠B=30°∠C=90°∴BD=2DC∴∠BAC=60°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA∠ADE=60°第3题DCBA图6DCBEADCBAEE数学李老师qq:29576151462【例4.】如图,D是ABC的边BC上的点,且CDAB,ADBBAD,AE是ABD的中线。求证:2ACAE。证明:延长AE到点F,使得EF=AE联结DF在△ABE和△FDE中∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE=DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED∴∠ADC=∠ADB+∠FDEAE=FE即∠ADC=∠ADF∴△ABE≌△FDE(SAS)在△ADF和△ADC中∴AB=FD∠ABE=∠FDEAD=AD∵AB=DC∠ADF=∠ADC∴FD=DCDF=DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD∴△ADF≌ADC(SAS)∵ADBBAD∴AF=AC∴AC=2AE【变式练习】、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.证明:延长AE到点F,使得EF=AE联结DF在△ACE和△FDE中∴∠ADB=∠ACD+∠CDACE=DE∵∠ACE=∠FDE∠AEC=∠FED∴∠ADB=∠ADC+∠FDEAE=FE即∠ADB=∠ADF∴△ACE≌△FDE(SAS)在△ADF和△ADB中∴AC=FD∠ACE=∠FDEAD=AD∵DB=AC∠ADF=∠ADB∴DB=DFDF=DB∵∠ADB=∠ACD+∠CAD∴△ADF≌ADB(SAS)∵AC=DC∴∠FAD=∠BAD∴∠CAD=∠CDA∴AD平分∠DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法,倍长中线,或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习】:如图所示,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF。求证:AE=EF。证明:延长AD至点G,使得DG=AD,联结BD在△ADC和△GDB中∴BG=BFAD=GD∴∠BFG=∠BGF∠ADC=∠GDB∵∠CAD=∠BGDBD=DC∴∠BFG=∠CADEDCBAFF数学李老师qq:29576151463OEDCBA∴△ADC≌△GDB(SAS)∵∠BFG=∠AFE得AC=BG∠CAD=∠BGD∴∠AFE=∠FAE∵AC=BF∴AE=AF②、借助角平分线造全等【例5】如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD证明:在AC上截取AF=AE,联结OF在△AOE和△AOF中在△ABC中,∠B+∠BAD+∠ACB=180°AE=AF∵∠B=60°∠EAO=∠FAO∴∠BAD+∠ACB=120°AO=AO∵AD平分∠BAC∴△AOE≌△AOF(ASA)在△COD和△COF中∴∠BAC=2∠OAC∴∠AOE=∠AOEOE=OF∠DCO=∠FCO∵CE平分∠ACB∵∠AOE=60°CO=CO∴∠ACB=2∠ACO∠AOE+∠AOE+∠FOC=180°∠DOC=∠FOC∴2∠OAC+2∠ACO=120°∠FOC=6O°∴△COD≌△COF(ASA)∴∠OAC+∠ACO=60°∵∠AOE=∠COD∴OD=OF∵∠AOE=∠OAC+∠ACO∴∠COD=60°∵OE=OF∴∠AOE=60°∴OE=OD【例6】.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.证明:延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。【小结】解题后的思考:①于角平行线的问题,常用两种辅助线;②见中点即联想到中位线。DECABGFF数学李老师qq:29576151464FEDCBA③旋转【例7】正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.∴∠GAE=∠FAE延长EB到点G,使得BG=BE∠DAF+∠BAF=90°先证明△ADF≌△ABE∠GAB=∠FAD可得到AF=AG∠DAF=∠GAB∴∠GAF=90°∵EF=BE+DF∴∠EAF=45°∴EF=BE+BG=GE∴△GAE≌△FAE【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,,BCBD为折痕,则CBD的大小为___90°;【例9】.如图,已知∠ABC=∠DBE=90°,DB=BE,AB=BC.(1)求证:AD=CE,AD⊥CE(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部,其他条件不变,则(1)中结论是否仍成立?请证明提示:∠ABC=∠DBE=90°∴∠ECB+∠AHB=90°∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC∴∠ECB+∠CHF=90°即∠ABD=∠CBE∴∠HFC=90°∴△ABD≌△CBE∴AD⊥CEHAD=CE∠BAD=∠ECB∵∠BAD+∠AHB=90°G数学李老师qq:29576151465FEDCBA【例10】.如图在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点.(1)写出O点到△ABC三个顶点A、B、C的距离关系(不要求证明)(2)如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.联结OA则△OAC和△OABD都为等腰直角三角形∴OA=0B=0C△ANO≌△BMO(∠NOA=∠OBM)可得ON=OM∠NOA=∠MOB可得到∠NOM=∠AOB=90°【例11】如图,已知ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且DEF也是等边三角形.(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程.AE=BF=CDAF=BD=CEABC等边三角形DEF也是等边三角形得到∠EFD=60°∠ABC=60°∵∠AFD=∠FBD+∠FDB∠AFD=∠AFE+∠EFD∴∠AFE=∠BDF∴△AEF≌△BFD同理:△AEF≌△CDE④、截长补短【例12】、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC【例13】如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BDCDBA数学李老师qq:29576151466EDCBA【例14】如图,已知在ABC内,060BAC,040C,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP证明:如图(1),过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=OB,∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。【例15】.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AE+CD.方法同【例5】PQCBA数学李老师qq:29576151467【例16】已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC延长FD至点G,联结CG先证明△FDE≌GDC得∠EFD=∠CGDFE=CG,EF//AB∠EFD=∠1∠CGD=∠1∵∠1=∠2,∴∠2=∠CGD∴AC=CG∵FE=CG∴EF=AC【例17】如图,ABC为等边三角形,点,MN分别在,BCAC上,且BMCN,AM与BN交于Q点。求AQN的度数。先证明△ABM≌△BCN(SAS)可得∠CBN=∠BAM∠AQN=∠ABQ+∠BAQ∵∠BAM=∠CBN∴∠AQN=∠ABQ+∠CBN即∠AQN=∠ABC=60°(4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18】:如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=CF。求证:DE=DF。证明:过E作EG//AC交BC于G,则∠EGB=∠ACB,又AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,∴EB=EG=CF,∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,∴DE=DF。GG数学李老师qq:29576151468.【例19】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE.联结BD证明:∵CF平分∠BCD∴∠ADB=∠CDB∴∠BCF=∠DCF∵DF∥AB在△BCF和△DCF中∴∠ABD=∠BDFBC=CDBF=DF∠BCF=∠DCF∴∠FDB=∠FBDCF=CF∴∠ABD=∠FBD∴△BCF≌△DCF(SAS)在△ABD和△EBD中∴BF=DF∠ABD=∠EBD(2)∵AD∥BCBD=BD∴∠ADB=∠CBD∠ADB=∠EDB∵BC=DC∴△ABD≌△EBD(ASA)∠CBD=∠CDB∴AD=DE【课堂练习】1.如图,已知AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED=126°延长AE交AC于F2.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。【试卷上面的已讲】EFDABCFBCAMNE1234数学李老师qq:29576151469综合题:已知在△ABC中,45ABC,高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,联结CF.(1)当△ABC是锐角三角形时(如图a所示),求证:ADFGCD;(2)当BAC是钝角时(如图b所示),①写出线段AD、CD、FG三者之间的数量关系,不必写出证明过程,直接写结论;②当BEFE,4BD时,求FG的
本文标题:八年级数学几何证明题
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