重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月

1线性代数11A201106试卷答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．设,,xyz互不相同，行列式222xyzDxyzyzzxxy，则0D的充要条件是.0xyz（第1行加到第3行，提取公因式，可变为范得蒙行列式）2．设,AB是5阶方阵，且0,()2ABRA，则()RB.33．已知2112A，方阵B满足23BABE，则B.94．设三阶矩阵122212,13041xA，如果A与线性相关，则x.15．设123,,是非齐线性方程Axb的三个解向量，如果112233kkk是该方程的解，则123,,kkk满足条件.1231kkk6．若三阶方阵A满足2,20AAE，则A有一个特征值为1二、单项选择题（每小题３分，共18分）1．设,AB均为n阶方阵，则必有【C】A．ABAB;B．ABBA;C．ABBA;D．111()ABAB.2．以下结论正确的是【Ｄ】A．若0A，则0A；B．若0AB，则0A或0B;Ｃ.若20A，则0A;D．若A为对称阵，则2A为对称阵．3．设,AB均为n阶方阵，()()RARB，则必有【A】A．A等价于B;B．0Ax与0Bx有相同的解空间;C．A相似于B;D．A合同于B．4．设,,ABC为n阶方阵，ABC，则必有【C】A．()()RARB;B．()()RBRC;C．()()RCRA;D．()()RCRB25．齐次线性方阵0Ax有非零解的充要条件是【B】A．A的行向量组线性相关；B．A的列向量组线性相关；C．A的行向量组线性无关；D．A的列向量组线性无关.6．设n方阵,AB有相同的特征值，则必有【Ａ】A．AB；B．()()RARB；C．TA相似于TB；D．AEBE3三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．计算行列式2132333231123131D的值．解：70D2．已知向量组1234(1,1,2,0),(1,2,3,2),(2,2,4,4),(2,1,5,6),5(4,1,9,14)．1说明13,线性无关。2求该向量组的秩及一个最大无关组。解:（1）因13,对应分量不成比例。（2）1234511224112241221101011,,,,2345900441202461400000所以秩为３，最大无关组为123,,或其它。3．设矩阵011100101,110110111AB，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE，求X。解：()()AXABXBBXAAXBEABXAABXBE()()ABXABE，且111011001AB可逆，1112()011001AB故11125()()012001XABAB4四、计算题（二）（每小题12分，共24分）1．当,取何值时，线性方程组123413413412340221(3)2231xxxxxxxxxxxxxx有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷多解时求其通解。解11110111101022101111~103200101231100010A(1)当1时，()()4RARA，方程组有唯一解。（2）当1,1时，()2,()3RARA，方程组无解。（3）当1,1时，()()24RARA，方程组有无穷解。此时11110102210111101111~00000000000000000000A通解为12122111010001xkk2．已知三阶方阵1114335Axy有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征根，求可逆方阵P使1PAP为对角阵。解:A有三个线性无关的特征向量，且2是A的二重特征根，则必有(2)1RAE而11111122~202333000AExyxy，故2,2xy2111242,(2)(6)335AAE，另一特征根为65122所对应的特征向量为12(1,1,0),(1,0,1)TTpp;36所对应的特征向量为3(1,2,3)Tp记123(,,)Pppp,则1PAP为对角阵。五、综合题（每小题8分,共16分）1．设,AB均为n阶方阵，满足ABAB，证明AE可逆，且ABBA。证明：()()()()ABABABEBABEEBEAEBEE故AE可逆。()()()()()()()()AEBEEBEAEEAEBEBEAE故ABBA2．设A为n阶方阵，123,,是(3)nn维列向量，且30，如果11222333,,AAA，证明向量组123,,线性无关。证明：设123,,kkk满足1122330kkk①由已知12233,,0AEAEAE②AE①并将②代入得：12230kk③AE③并将②代入得：130k且30，故10k将10k代入③得20k将10k，20k代入①得30k故向量组123,,线性无关