材料力学弯曲内力课件

1材料力学2020年10月26日第四章弯曲应力2第四章弯曲内力§4.1对称弯曲的概念及计算简图§4.2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图§4.3平面刚架和曲杆的内力图§4.4梁横截面上的正应力.梁的正应力强度条件§4.5梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件§4.6梁的合理设计3工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。F1F2§4.1对称弯曲的概念及计算简图4弯曲变形F1F2载荷垂直于杆的轴线，以弯曲变形为主的杆件轴线由直线曲线称为梁。1、对称弯曲若梁(1)具有纵向对称面;(2)所有外力都作用在纵向对称则轴线变形后也是该对称面内的曲线。面内。52、计算简图1）支座的几种基本形式固定铰支座61）支座的几种基本形式固定铰支座活动铰支座向心轴承7向心轴承向心止推轴承8固定端约束FAxFAy2）载荷的简化集中力集中力偶分布载荷3）静定梁的基本形式主要研究等直梁。93）静定梁的基本形式主要研究等直梁。简支梁外伸梁悬臂梁103）超静定梁主要研究等直梁。例4-1试求图所示梁A、B处的约束力。4）梁的约束力计算(a)11例4-1试求图所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。解：1.此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。12解：1.此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。研究CB梁，受力如图13研究CB梁，受力如图0m5mN105m2.5m3mN1020033ByCFMkN29ByF研究整体，受力如图14研究整体，受力如图0,0AxxFF0kN29m3mkN20kN50,0AyyFFkN81AyF0m5.61029mN105m4m3mN1020m1N105003333AAMMmkN5.96AM15§4.2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图矩1、梁的剪力和弯矩。例4-2已知：q=20kN/m,尺寸如图。求：D截面处的内力。x求内力的方法——截面法。解：建立x坐标如图。(1)求支座反力RARAxRC取整体，受力如图。0X0AxR16(1)求支座反力取整体，受力如图。0X0AxRxRARCRAx0)(FCMkN80AR0YkN40CR(2)求D截面内力从D处截开，取左段。xRAFsD横截面上的内力如图。RAxFNMD170XAxNRF0)(FDM2/xqxxRMAD0YqxRFAsD(2)求D截面内力从D处截开，取左段。横截面上的内力如图。0xRAFsDMDFNRAxx208021080xx规律FsD=截面一侧所有y向外力代数和MD=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和18xRARCRAx若从D处截开，取右段。横截面上的内力如图。xRAQDMDNRAxRCFSDMD计算可得FSD,MD的数值与取左段所得结果相同。但从图上看，它们的方向相反。剪力和弯矩的正负号规则如何？19剪力和弯矩的正负号规定FsFs剪力使其作用的一段梁产生顺时针转动的剪力为正。弯矩使梁产生上凹(下凸)变形的弯矩为正。20剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。2、剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图)(xFFss)(xMM剪力方程弯矩方程1）利用剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图21例4-3图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.列剪力方程和弯矩方程xMFS(x)lxqxxqxxMlxqxxF02202S1）利用剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图22解：1.列剪力方程和弯矩方程lxqxxqxxMlxqxxF02202S2.作剪力图和弯矩图23例4-4图所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束力2qlFFBA2.列剪力方程和弯矩方程lxqxqlqxFxFA02SlxqxqlxxqxxFxMA02222242.列剪力方程和弯矩方程lxqxqlqxFxFA02SlxqxqlxxqxxFxMA022223.作剪力图和弯矩图25例4-5已知:简支梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1)求支反力,lPbRA需分段求解。lPaRB(2)求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。AC段取x截面，左段受力如图。26需分段求解。lPbxFs)(1(2)求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。AC段取x截面，左段受力如图。Fs1M1由平衡方程，可得:)0(axxlPbxM)(1)0(axCB段x取x截面，27lPaxFs)(2由平衡方程，可得:)(lxa)()(2xllPaxM)(lxaCB段x取x截面，xFs2M2左段受力如图。(3)画剪力图和弯矩图sF28(3)画剪力图和弯矩图lPbxF)()0(axxlPbxM)()0(axlPaxF)()(lxa)()(xllPaxM)(lxasF29作剪力图和弯矩图的步骤(1)求支座反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3)分段在载荷变化处分段；(4)列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5)根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。30xRARAxRCmxxxxqxxRMA6010802/21解：1、求约束力例4-6已知：q=20kN/m,尺寸如图。作剪力图和弯矩图AB段：)(40)(80kNRkNRCA2、剪力方程和弯矩方程mxxqxRFAs6020801313、作剪力图和弯矩图BC段：mxxxqxRMA6036040)3(61mxmkNFs60.40620802mxxxxqxxRMA6010802/21AB段：2、剪力方程和弯矩方程mxxqxRFAs6020801xRARAxRC32mxxxxqxxRMA6010802/21mxxqxRFAs6020801AB段：mxmkNFs60.40620802BC段：mxxxqxRMA6036040)3(61xRARAxRCsFxkN80kN403、作剪力图和弯矩图kN.m160kN.m120xM332）载荷集度、剪力和弯矩间的关系对图示的直梁,考察dx微段的受力与平衡。q(x)M(x)+dM(x)F(x)+dF(x)F(x)M(x)dxAydxxq(x)0Y)(xF)](d)([xFxFxxqd)(00)(dd)(xFxxq)(d)(dxqxxF34考察dx微段的受力与平衡)(d)(dxqxxF0)(FAM)(xMxxFd)()](d)([xMxM2dd)(xxxq0略去高阶微量)(dxMxxFd)(0dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)F(x)+dF(x)F(x)M(x)dxAy35略去高阶微量)(dxMxxFd)(0)(d)(dxFxxM还可有：)(d)(d22xqxxMq(x)、F(x)和M(x)间的微分关系)(d)(dxqxxFdxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)F(x)+dF(x)F(x)M(x)dxAy36)(d)(dxqxxF)(d)(dxFxxM)(d)(d22xqxxMq(x)、F(x)和M(x)间的微分关系上次例3(书例4.3)由微分关系可得以下结论0)(xqdxxq(x)37由微分关系可得以下结论(1)若q(x)=0F(x)=常数，剪力图为水平线；M(x)为一次函数，弯矩图为斜直线。(2)若q(x)=常数F(x)为一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为二次函数，弯矩图为抛物线。sF38(2)若q(x)=常数F(x)为一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为二次函数，弯矩图为抛物线。当q(x)0(向下)时,抛物线是下凸的；当q(x)0(向上)时,抛物线是上凸的；(3)在剪力Fs为零处,弯矩M取极值。xRARAxRCsFxkN80kN40kN.m160kN.m120xM39(3)在剪力Fs为零处,弯矩M取极值。注意:以上结论只在该段梁上无集中力或集中力偶作用时才成立。xRARAxRCsFxkN80kN40kN.m160kN.m120xM40(4)在集中力作用点：剪力图有突变，突变值即为集中力的数值，突变的方向沿着集中力的方向(从左向右观察)；弯矩图在该处为折点。(5)在集中力偶作用点:对剪力图形状无影响；弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。41集中力偶为逆时针时，向上跳(从左向右看);顺时针时，向下跳(从左向右看).(5)在集中力偶作用点:对剪力图形状无影响；弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。42二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0F图特征M图特征CPCm水平直线xFF0FF0x斜直线增函数xFxF降函数xFCF1F2F1–F2=P自左向右突变xFC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2mMM2143根据微分关系作剪力图和弯矩图(1)求支反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3)分段确定控制面；(4)求出控制面上的F、M值；(5)根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。44例4-7已知：简支梁如图。解：求：利用微分关系作剪力图和弯矩图。(1)求支反力:(2)坐标系ABC(3)确定控制面:A、B、C面(4)计算控制面的Fs和Mx)(21qaFAy)(21qaFBy45作剪力图(4)计算控制面的FsqaFA21qaFB21qaFC210)2(aF0)23(aFFs46作弯矩图(5)计算控制面的M0AM281)2(qaaM281)23(qaaM0CMFs281qa281qaxM0BM47例4-8利用微分关系作图示梁的内力图。解：1、求支反力2;2qaRqaRDA0;2MqasF2、求控制面内力左端点A：qqa2qaABCDB点左：221;2qaMqaFsB点右：221;2qaMqasFC点左：221;2qaMqasFM的极值点：283;0qaMsFRARD48221;2qaMqasFC点右：Fsxqa/2qa/2qa/2––+qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+0;21MqasF右端点D：M的极值点：283;0qaMsFqqa2qaABCD作弯矩图作剪力图49qa/4qa/43qa/47qa/4Fsx例4-9改内力图的错误。47;4qaRqaRBAqBa2aaqa2AxMqa2/43qa2/249qa2/325qa2/43qa2/250例4-10已知Fs图,求外载及M图（梁上无集中力偶）Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/mM(kN·m)x111.25513)按叠加原理作弯矩图(i)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，这就是说，在小变形情况下，梁横截面上的剪力和弯矩分别等于各外荷载单独作用时相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。(ii)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引