2010年上海高考数学理科(含答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．不等式042xx的解集为_______________；2．若复数iiz(21为虚数单位），则zzz______；3．若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线02x的距离相等，则点P的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin3cos的值为_________；5．圆C：044222yxyx的圆心到直线0443:yxl的距离d________；6．随机变量的概率分布率由下图给出：x78910P（x）0．30．350．20．15则随机变量的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。8．对任意不等于1的正数a，函数)3(log)(xxfa的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是__________。9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率)(BAP____________（结果用最简分数表示）。10．在n行n列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ijaijn。当9n时，11223399aaaa______。11．将直线2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）x轴、y轴围成的封闭图形的面积xOyE1E2记为nS，则limnnS___________。12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；13．如图所示，直线2x与双曲线：1422yx的渐近线交于21,EE两点，记11eOE，22eOE。任取双曲线上的点P，若12OPaebe（a、bR），则a、b满足的一个等式是___________。14．以集合dcbaU,,,的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有BA或AB。那么共有________种不同的选法。二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15“24xkkZ”是“tan1x”成立的（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充分条件．（D）既不充分也不必要条件．16．直线l的参数方程是)(221Rttytx，则l的方向向量d可以是（A）（2,1）．（B）（1,2）．（C）（1,2）（D）（2,1）17．若0x是方程31)21(xx的解，则0x属于区间（A）（1,32）．（B）（32,21）．（C）（21,31）（D）（31,0）18．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为51,111,131[来源:则此人能（A）不能作出这样的三角形．（B）作出一个锐角三角形．（C）作出一个直角三角形．（D）作出一个钝角三角形．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19．（本题满分12分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)22xxxxx=020．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nNA1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出n为何值时，nS取得最小值，并说明理由．（3）90)65(751nnnS15n取得最小值21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0．01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0．3米时，求图中两根直线31BA与53BA所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。若实数x、y、m满足mymx，则称x比y远离m．（1）若21x比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：33ab比22abab远离2abab；（3）已知函数()fx的定义域RxZkkxxD,,42．任取xD，()fx等于xsin和xcos中远离0的那个值．写出函数()fx的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，点P的坐标为（ba,）．（1）若直角坐标平面上的点M、)0,(),,0(aBbA满足)(21PBPAPM，求点M的坐标；（2）设直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，交直线22:lykx于点E．若2122bkka，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆上的点)0()sin,cos(baQ，如果椭圆上存在不同的两个交点1P、2P满足PQPPPP21，写出求作点1P、2P的步骤，并求出使1P、2P存在的的取值范围．参考答案一、填空题：1．【答案】{|42}xx解析：由20(2)(4)0424xxxxx【命题立意】本题考查了分式不等式的求解问题,考查分类思想方法的应用．【解题思路】由204xx可得204xx,解之得42x,∴不等式204xx的解集是{|42}xx【易错点】分式不等式中字母系数为负时需要先变号为正,否则解集将出现错误．2．【答案】62i解析：因为12zi，所以22||1(2)5z，所以2||51262zzzzzii【命题立意】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题型．【解题思路】∵12zi,∴(12)(12)(12)51262zzziiiii．3．【答案】28yx解析：依题意可以P的轨迹是以(2,0)F为焦点，22px为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为228,ypxxP的轨迹方程为28yx【命题立意】本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的概念,考查函数与方程思想．【解题思路】∵动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20x的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线,其中F（2,0）为焦点,直线20x为准线,即22p,解之得4p,其中对应的抛物线的标准方程为28yx．4．【答案】0解析：cossin36coscossinsincos()0363636sincos36【命题立意】本题考查了行列式及三角函数的二倍角公式,属基础公式题型．【解题思路】cossin36coscossinsincos()cos03636362sincos36．5．【答案】3解析：圆C即为：22(1)(2)1xy，其圆心(1,2)C，由点到直线的距离公式可得22|31424|334d【命题立意】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离,考查数形结合思想．【解题思路】圆22:2440Cxyxy的圆心（1,2）到直线3440xy的距离|31424|35d．6．【答案】8．2解析：()0.370.3580.290.15108.2E【命题立意】本题考查了离散型随机变量的分布列及均值的计算问题，考查数据的统计与处理能力．【解题思路】由概率分布率可得随机变量的均值为70.380.3590.2100.158.2．7．【答案】SSa解析：因为S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数所以显然是累加起来的求和，故空白的执行框内应填入：SSa【命题立意】本题考查了算法的程序框图及算法流程图,考查算法思想的应用．【解题思路】S的初始值为0,每个整点时输入的人数a的值均需要累加到S上,则空白的执行框内应填入SSa．【易错点】对变量的错误认识,在赋值框中的表达式容易出现填STa等错误．8．【答案】(0,2)解析：方法一：求出反函数的解析式，由()log(3)33yyayfxxxaxa2.521.510.50.511.5232112345l3l2OACB所以函数()log(3)afxx的反函数的解析式为1()3xfxa，令0x，可知与y轴的交点坐标是(0,2)。方法二：反函数的图像与y轴的交点关于直线yx对称的点即为原函数的图像与x轴的交点，令()log(3)02afxxx，从而原函数与与x轴的交点为(2,0)，所以反函数的图像与y轴的交点坐标是(0,2)【命题立意】本题考查了函数与反函数的关系,考查函数与方程思想及数形结合思想．【解题思路】函数3()log(3)fxx与x轴的交点坐标为(2,0),即(2)0f,则1(0)2f,即得点(0,2)在其反函数的图象上．9．【答案】726解析：基本事件总数为15252nC，事件A的基本事件为1Am，从而1()52PA，事件B的基本事件为13Bm，所以13()52PB，又事件A与B是互斥事件从而1137()()()525226PABPAPB。【命题立意】本题考查了古典概型的计算问题,考查分析问题与解决实际问题的能力．【解题思路】52张中随机抽取2张共有252C种方法,其中事件A:抽得红桃K只有1种方法,事件B:抽得黑桃有13种方法,则概率为1137()5226PAB．10．【答案】45解析：可知这个数列的每一行，每一列，每一斜行的和均为12n，从而当9n时，1122339912945aaaa【命题立意】本题考查了数阵与数列的通项与数列的求和问题,考查归纳猜想能力及统计能力．【解题思路】由矩阵可得,1122339913579246845aaaa．11．【答案】1解析：依题意可知2l过点(1,0)A，3l过点(0,1)C，又2l与3l的交点可由方程组0101nxnxynnxnynnyn，如图所示，设其为点(,)11nnBnn，从而围成的封闭图形即为四边形OABC，又OAC的面积为xyO11nn(,)11nnAnn111122，又直线AC的方程为10xy，点B到直线AC的距离2211211111nnndnnn，所以1111112122221212ABCnnnSACdnn