基本初等函数的图像与性质专题

基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破第2讲函数、基本初等函数的图象性质基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破基础要点整合一、构建知识网络基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破二、梳理基础知识1．熟练运用指数与对数运算的八个公式设a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则(1)am·an＝______；(2)(am)n＝_____；(3)loga(MN)＝_____________；(4)logaMN＝_______________；(5)logaMn＝_______；(6)alogaN＝____；(7)logaN＝logbNlogba；(8)logamNn＝___________.am＋namnlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMNnmlogaN基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破2．融会贯通函数的三个基本性质(1)函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，除增函数与减函数的定义外，要注意其等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，则①fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是_______，fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是_________．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是______，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是________．增函数减函数增函数减函数基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破(2)函数的奇偶性奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，需注意：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件．②_______________或_____________是定义域上的恒等式．(3)函数的周期性周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝______(T≠0)，则f(x)是周期函数，____是它的一个周期．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)f(x)T基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破3．通盘把握抽象函数的周期性和对称性(1)函数的周期性若函数f(x)满足①f(x＋a)＝f(x＋b)，则周期T＝________②f(x＋a)＝－f(x)，则周期T＝____(a＞0)③f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx，则周期T＝______(a＞0)|a－b|2a2a基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破(2)函数图象的对称性若函数f(x)满足：①f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)图象的对称轴为_______.②f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)图象的对称中心为______．③f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)图象的对称轴为_________.x＝a(a,0)x＝a＋b2基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[考情一点通]考点一：函数及其表示考点核心突破题型选择或填空难度中档偏下考查内容(1)以分段函数为载体，求函数值．(2)与不等式(组)的解法交汇命题，考查函数的定义域.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【例1】(1)(2013·烟台一模)已知函数f(x)＝2cosπx3，x≤2000，2x－2008，x＞2000，则f[f(2013)]等于A.3B．－3C．1D．－1(2)(2013·临沂一模)函数f(x)＝lnxx－1＋12x的定义域为A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[答案](1)D(2)B[自主解答](1)f(2013)＝22013－2008＝25＝32，所以f[f(2013)]＝f(32)＝2cos32π3＝2cos2π3＝－1，选D.(2)要使函数有意义，则有x≥0，xx－1＞0，即x≥0xx－1＞0，所以解得x＞1，即定义域为(1，＋∞)，选B.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【拓展归纳】(1)求函数值的方法形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地，对具有周期性的函数求值要用好其周期性．(2)求函数定义域的类型及相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．【易错提示】函数的定义域必须写成集合或区间的形式．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【考点集训】1．(2013·新华中学模拟)若f(x)＝121log21x，则f(x)的定义域为________．解析要使函数有意义，则有12210,log(21)0xx，即x＞－122x＋1＜1，所以解得－12＜x＜0，即不等式的定义域为－12，0.答案－12，0基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破答案C2．(2013·海淀模拟)设函数f(x)＝12x－7，x＜0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析若a＜0，则由f(a)＜1得12a－7＜1，即12a＜8＝12－3，所以－3＜a＜0.若a≥0，则由f(a)＜1得a＜1，所以0≤a＜1.综上a的取值范围是－3＜a＜1，即(－3,1)，选C.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破数形结合的思想解决函数问题[考情一点通]考点二：函数的图象题型选择或填空难度中档偏下考查内容(1)知式选图、知图选式．(2)利用图象解决函数问题．(3)函数图象的变换.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【例2】(1)(2013·日照一模)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(2)(2013·通州模拟)对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[自主解答](1)易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时f(x)＝lg(x－1)的图象，将函数y＝lgx图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图象，再根据偶函数性质得到f(x)的图象．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破(2)因为f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2，所以x2－2－(－x)＝x2＋x－2≥0时，解得x≥1或x≤－2.当－2＜x＜1时，x2＋x－2＜0，即f(x)＜g(x)，所以max(f(x)，g(x))＝－x，－2＜x＜1，x2－2，x≥1或x＜－2，基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[答案](1)B(2)－1作出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为f(1)＝－1.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【拓展归纳】(1)利用函数的性质解决知式选图问题①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破(2)函数图象的应用类型及方法①函数的最大值与最小值分别对应于函数图象最高点和最低点的纵坐标．②有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数，利用此法也可由交点的个数求参数的值(范围)．③有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系问题来解．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【考点集训】3．(2013·济南一模)函数f(x)＝lnx－1x的图象是基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破答案B解析因为f(2)＝ln32＞0，排除A.f(－2)＝ln－32无意义，排除D.f(4)＝ln4－14＝ln154＞0，排除C，选B.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破4．(2013·厦门模拟)已知函数y＝|x2－1|x＋1的图象与函数y＝kx＋2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析函数y＝|x2－1|x＋1＝|x＋1x－1|x＋1＝x－1，x＞1或x＜－1，1－x，－1＜x≤1，作出函数图象，基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破直线y＝kx＋2过定点A(0,2)，其中B(－1，－2)，kAB＝4，根据图象可知要使两个函数的交点个数有两个，则直线斜率满足0＜k＜4且k≠1.答案0＜k＜4且k≠1基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[考情一点通]考点三：函数的性质题型选择、填空或解答难度中档偏上考查内容(1)利用函数的单调性比较函数值的大小，解不等式，求函数的值域或最值．(2)利用函数的奇偶性、周期性求函数值.基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【例3】(1)(2013·青岛一模)已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)＞2f′(x)，若2＜a＜4，则A．f(2a)＜f(3)＜f(log2a)B．f(3)＜f(log2a)＜f(2a)C．f(log2a)＜f(3)＜f(2a)D．f(log2a)＜f(2a)＜f(3)基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破(2)(2013·日照一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2013)＋f(2012)的值为A．－2B．－1C．1D．2基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破[自主解答](1)由f(x)＝f(4－x)，可知函数关于x＝2对称．由xf′(x)＞2f′(x)，得(x－2)f′(x)＞0，所以当x＞2时，f′(x)＞0，函数递增，所以当x＜2时，函数递减．当2＜a＜4,1＜log2a＜2,22＜2a＜24，即4＜2a＜16.所以f(log2a)＝f(4－log2a)，所以2＜4－log2a＜3，即2＜4－log2a＜3＜2a，所以f(4－log2a)＜f(3)＜f(2a)，即f(log2a)＜f(3)＜f(2a)，选C.(2)由函数f(x)是R上的偶函数及x≥0时，f(x＋2)＝f(x)得f(－2013)＋f(2012)＝f(2013)＋f(0)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝1.故选C.[答案](1)C(2)C基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【拓展归纳】函数性质的综合应用求解函数的奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路是把自变量化归到已知的区间内，然后根据函数的有关性质求解．如例3第(1)题中要比较三个数的大小，就要利用函数图象的对称性把三个自变量转化到一个单调区间内，然后根据函数的单调性比较大小，第(2)题则利用周期性和奇偶性完成这个过程．基础要点整合解题规范流程训练高效提能考点核心突破【考点集训】5．(2013·泰安一模)设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是A．－2≤t≤2B．－12≤t≤12C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－12或t＝0或t≥12基础要点整合解题规范流程训练高效提能