常用21个统计分布总结

数说工作室Bernoulli(p)伯努利分布说明与例：x为伯努利试验的结果，当试验成功，则x=1，试验失败则x=0。可以把伯努利试验理解为抛硬币，x=1为出现正面Binomial(n,p)二项分布（图以p=0.4,n=5为例）说明与例：x是重复n次的伯努利试验结果，即x=试验成功的次数，可以理解为抛n次硬币，正面出现的次数。PXxp|()px1p()1x;x01,;0p1EXp,VarXp1p()MXt()1p()pet01xPXxn|p,()nx()px1p()nxx012...n,,,,;0p1EXnp,VarXnp1p()Mxt()pet1p()[]n数说工作室Multinomial(m,p1,...,pn)多项分布图略（因为是联合分布的多维分布）说明与例：多项分布是二项分布的推广，二项分布结果只有两个，而多项分布结果可以有多个，比如仍骰子，x1表示n次试验点数1出现的次数…x6表示点数6出现的次数。Geometric(p)几何分布（图以p=0.4为例）说明与例：得到一次成功而进行的伯努利试验次数n，即前面失败了n-1次，第n次成功。比如x可以理解为抛硬币，出现正面所抛的次数fx1...xn,,()m!x1!...xn!p1x1...pnxnm!i1npixixi!ÕPXxp|()p1p()x1;x12...,,;0p1EX1p,VarX1pp2MXt()pet11p()et,tlog1p()-数说工作室Hypergeometric超几何分布（以N=10,m=5，n=4为例）说明与例：已知N个总体中有m个不合格的产品，现在抽取n个，出现不合格产品的数量。Negativebinomial(r,p)负二项分布PXxN|MK,,()Mx()NMKx()NK();x01...K,,,MNK()xM;NMK0,,EXKMN,VarXKMNNM()NK()NN1()PXxr|p,()rx1x()pr1p()x;x01...,,;0p1EXr1p()p,VarXr1p()p2MXt()p11p()et()r,tlog1p()-数说工作室（改图来自维基百科，反映了一个大致的变动趋势）（这是以r=3，p=0.4为例进行模拟得到的）数说工作室说明与例：在一连串伯努利试验中，一件事刚好在第r+k次试验出现第r次的概率，如做了3+1次试验，每次成功概率为0.4,那么该试验刚好在第四次出现第三次成功的概率就为0.1152Poisson(λ)泊松分布说明与例：泊松分布多用来描述单位时间（面积）内随机事件发生的次数，参数λ是单位时间（面积）内随机事件的平均发生率，如显微镜下单位分区内的细菌分布数、服务设施在一定时间内受到的服务请求次数等。Beta(α,β)贝塔分布其中1110(,)(1)(0,0)pqBpqxxdxpqPXxλ|()eλ-λxx!;x01...,,;0λ¥EXλ,VarXλMXt()eλet1()fxα|β,()1Bαβ,()xα11x()β1,0x1,α0,β0EXααβ,VarXαβαβ()2αβ1()MXt()1k1¥r0k1αrαβrÕ()tkk!å数说工作室说明与例：某变量取某一个有限长度（时间）中的某一段长度（时间）时，该变量表现为贝塔分布，如心理学中认为，一个正常人在整个睡眠中，异相睡眠所占的比例服从贝塔分布。（参考资料：维基百科贝塔分布的有关性质及应用探讨）Cauchy(θ,σ)柯西分布MeanandvarianceDonotexistIfXandYareindependentN(0,1),X/YisCauchyfxθ|σ,()1pσ11xθσ()2,σ0数说工作室说明与例：柯西分布于正态分布的图形有点像，但柯西分布的图形下降至0的速度更快，如第2张图中，下面的那个是柯西分布。柯西分布用来描述共振行为，如在物理学中描述受迫共振的微分方程的解，在光谱学中描述共振或者其他机制加宽的谱线性状。Chisquared(p)卡方分布说明与例：k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。在独立性检验、样本对总体的拟合程度等中常常用到。Doubleexponential(μ,σ)双参指数分布fxp|()xp21ex-2Γp2()2p2;0x¥;p12...,,EXp,VarX2pMXt()112t()p2,t12χ2m()Gammam22,()fxμ|σ,()12σexμ||-σ,σ0数说工作室（以doubleexponential(1,2)为例，即把单指数分布exponential(2)右移1个单位，在按照对称轴x=1反转）Exponential(β)指数分布以（exponential（2）为例，便于与exponential（1,2）对比）EXμ,VarX2σ2MXt()eμt1σt()2,t||1σfxβ|()1βex-β,0x¥,β0EXβ,VarXβ2MXt()11βt,t1β数说工作室（来自维基百科）说明与例：指数分布常用于等待时间，因为它具有“无记忆性”即，已经等待了10分钟，再等待5分钟的概率，与已经等待30分钟，再等待50分钟的概率是一样的。FF分布说明与例：常用于统计检验，如方差分析、估计模型的拟合效果等fxv1|v2,()Γv1v22()Γv12()Γv22()v1v2()v12xv12()21v1v2()x()v1v2()2EXv2v22,v22VarX2v2v22()2v1v22v1v24(),v24EXnΓv12n2()Γv22n2()Γv12()Γv22()v2v1()n,nv22Fv1v2,χv12v1()χv22v2()F1v,tv2数说工作室Gamma(α,β)伽马分布（来自维基百科）说明与例：G(a,b)意义是，如果某事件发生一次需要时间b（1/b即该事件的发生频率），那么x为等到第a事件发生时所需的时间），比如，经济衰退发生一次要3年，那么第2次经济衰退的时间就服从G（2,3）的伽马分布（现实中并没求证，只是举个例子）Logistic(μ,β)逻辑分布这个分布之前没听说过，在excel也没有相关函数对其分布进行模拟Lognormal(μ,α)对数正态分布fxα|β,()1Γα()βαxα1ex-β,0x¥,αβ,0EXαβ,VarXαβ2MXt()11βt()α,t1βfxμ|β,()1βexμ()-β1exμ()-β[]2,β0EXμ,VarXp2β2()3MXt()eμtΓ1βt()Γ1βt(),t||1βfxμ|σ2,()12pσelogx()μ()-22σ2()x,0x¥EXeμσ22,VarXe2μσ2()e2μσ2EXnenμn2σ22数说工作室（来自维基百科）说明与例：当x服从正态分布时，y=exp(x)就服从对数正态分布。变量可以看做是很多很小的独立因子乘积时候，该变量多服从对数正态分布，比如股票投资的长期收益率，它是每天收益率的乘积。Normal(μ,σ2)正态分布说明与例：最广泛的分布，试验过程中的随机误差多呈现正态分布，很多医学、经济、人口指标都服从或近似服从，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、人的智力等等fxμ|σ2,()12pσexμ()-22σ2()EXμ,VarXσ2MXt()eμtσ2t22数说工作室Pareto(α,β)帕累托分布说明与例：帕累托来源于对财富的观察：20%的人掌握了80%的财富，因此帕累托分布的例子有：中产阶级崛起之前，财富在个人之间的分布、人类居住区域的大小、油田石油贮备数量（都是前面少部分掌握了最大部分的资源）TT分布fxα|β,()βαβxβ1,0αx¥,α0,β0EXβαβ1,β1,VarXβα2β1()2β2(),β2fxv|()Γv12()Γv2()1vp11x2v()()v1()2,v1...,EX0,v1,VarXvv2EXnΓn12()Γvn2()pΓv2()vn2ifnvandevenEXn0ifnvandoddF1v,tv2数说工作室（来自维基百科）说明与例：在一些检验中，由于总体标准差是未知的，小样本情况下，再用u检验会产生很大的误差，用t检验改进以获得准确的结果，如两样本的t检验。Uniform(a,b)均匀分布说明与例：当x在a~b之间取任何一个值都是等可能时，此时x服从均匀分布。如掷骰子，x出现的点数。fxa|b,()1ba,axbEXba2,VarXba()212MXt()ebteatba()t数说工作室Weibull(γ,β)威布尔分布说明与例：寿命常服从这个分布，如滚动轴承的寿命等，因此在生存分析、工业产品制造、可靠性和失效分析、寿险模型等中用到很多fxγ|β,()γβxγ1ex-γβ,0x¥,γ0,β0EXβ1γΓ11γ(),VarXβ2γΓ12γ()Γ211γ()[]EXnβnγΓ1nγ()