哈密顿力学

第5章哈密顿力学§5-1哈密顿原理§5-2哈密顿函数§5-3正则方程§5-4正则变换拉格朗日表述拉格朗日函数完整,理想,保守系系统特性函数广义坐标(s个)独立变量(运动学)广义坐标广义速度独立变量(动力学)运动方程是广义坐标的二阶微分方程组拉格朗日变量哈密顿表述哈密顿函数完整,理想,保守系系统特性函数独立变量广义坐标广义动量(共2s个)推广至统计力学和量子力学运动方程是广义坐标和广义动量的一阶微分方程组(共2s个)哈密顿正则变量哈密顿力学可进行更广泛的“坐标”变换从哈密顿原理出发,也完全可以导出拉格朗日方程和正则方程,并建立整个分析力学的体系.自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函和变分问题.从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程,实际上还是以牛顿定理为基础的,是一种与牛顿力学完全等价的表达方式.哈密顿原理是更普遍的原理，这种方法具有公理性的特点，这也说明科学的统一和和谐.§5-1哈密顿原理2221():2,()()1',BAxxABABvyxvgydxdyydsvdxdtdtdtTdt、最速落径问题铅直平面内在所有联结二个定点和的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自点沿它无摩擦地下滑时，以最短时间到达点。解：这是泛函极值问题。速度与坐标的关系而质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为21'(),()2BAxxydxTyxyxyg1显然这是一个泛函(即函数的函数)。oxyAB一.变分问题的欧勒方程212211[()][()]:[()]()[()]0()()'xxxxxxTyxTyxTyxfy,y',xdxTyxTffTfy,y',xdxfy,y',xdxyyy现在的任务是寻找一个函数,使泛函取极值，即从众多的函数中找出一条路径使时间最短.设泛函的普遍形式为可以证明泛函取极值的条件是其变分为零,即（变分算符和微分算符的运算相似）21212211'''0''0,,'xxxxxxxxABydxfdfdfyyydxydxydxyfdffyydxydxyyyyydffdxy这属动边是变且任条意的(于不界分件)0y欧勒方程223/221/2221/23/223/221231'-0.211'1;(1')222111'(1')0222111(1')0(1')222(1')ydfffgydxyyfyfyyyygygydyyyydxgygyyyyCgygyy例：求最速落径方程解：已知，根据欧勒方程引入参数1122111112112'(1cos2)12sin22sincos2sin':(1cos2)(2sin2)2:(2sin2);(1cos2)22CCyctgyctgdydddxCCCdyctgctgCxdxCdCCCxCy，使而积分得最速落径的参数方程为2223/2[()]1;1'-0(1')BAxxBABBABASSyxdsydxfyfdffdxyydfyyydxyyyyxyxyxxx12AABB例：求连接两点之间最短长度的曲线解：要使泛函S取极值,函数必须满足欧勒方程:=0=0=cx+c该曲线必须通过两个端点的坐标:(x,y),(x,y)BBAyxx显然证明了连接两点长度最短的曲线为直线二.“最小”作用原理1A2BAB根据经典力学的基本假设,系统某时刻(t)从(q)出发,到另一时刻(t)到达(q),中间所经历的真实轨道q(t)是唯一的.经典力学的目标就是从所有连接q到q满足给定约束条件的可能轨道中找出一条满足力学规律的真实轨道来.:最小作用原理对给定初末态,系统的真实演化轨道使作用量取极值(极大或极小或常点，通常为极小),即其变分为零：S=0t1,qAt2,qBq(t)真实轨道1(())()qttSLtdt2t引入一个轨道相关的函数(物理上称为作用量,数学上称为泛函)：三.哈密顿原理21(,,)ttSLqqtdt对完整保守力系，假定拉格朗日量可以表示为L(q,q,t)，并定义哈密顿作用函数：211212:tt,()(),(),(,,)0ttqtqtqtSLqqtdt哈密顿原理在和时刻和相同（即端点固定）在约束许可的一切可能路径中使作用函数取极值的路径为物理上可以实现的真实运动路径：由最小作用原理导出运动方程需通过数学上称为变分的方法,通常假定变分路径由每一时刻坐标变量的一个独立的小变化(q(t))构成,时间的变分为零(t=0),即等时变分.等时变分下的最小作用原理一般称为哈密顿原理.),,,,(tqqqqqqLLss212122111()sttttLLLSLq,q,tdtqqtdtqqt下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保守力系，拉格朗日函数可以形式地假设为211sttLLqqdtqq211sttLdLdLqqqdtqdtqdtq0tdqqdt120ttqq22111tstttLLdLqqdtqqdtqq是任意的2110sttLdLqdtqdtq0(1,2...)dLLsdtqq哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义,它是建立在描述体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建立整个分析力学的体系.三.哈密顿原理的意义哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势.哈密顿原理是作为公理提出的,是基于这样一种信念：大自然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。1.背景通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将导致求解难度大不相同。§5-2广义动量和相空间如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特征进行把握的理论上的要求所在。另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之处，就是没有充分表达出在因果关系上的独立性。作为初始条件，总是可以独立给定的，可是在方程中是作为q的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以取代“初始时刻”，这种方程中的主从关系显然是对现实的一种扭曲表达。,qq(0),(0)qqq如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称性，自然成为人们的焦点。因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何—物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就可以有任意大的差别）。这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，但是难点在于保持新方程组的对称性。哈密顿方程组（正则方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办法更多(当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子)。=1,2...sLpq定义广义动量由q和p组成的空间称作相空间,因而相空间是2s维空间,q和p称作共轭变量利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普遍物理意义。(,,)=1,2...sLppqqtq(,,)=1,2...sqqqpt2.广义动量3.哈密顿函数在拉格朗日力学中曾定义:1(,)sLHqqLqconstq但那里H是作为L在不显含t时的能量积分（守恒量）引进的。现在进一步地把H定义为(选择广义坐标和广义动量作为独立变量)系统的特性函数----哈密顿函数111(,,),(,,),(,,)sssLHqptLqLpqqLqqqpttpqqpt注意只有在把广义速度换成广义动量后,H才能被称为哈密顿函数，就物理意义来讲它是能量的含义，特别是作为系统力学信息的集中载体而称之为哈密顿量。**4.勒让德变换旧系统新系统12(,,...)nFFuuu12(,,...)nGGvvviiFvu1siiGuvF勒让德变换假定由F对ui的二阶偏微商组成的行列式不等于零,这时才可以解出ui作为vi的函数拉格朗日函数哈密顿函数(,,)Hqpt(,,)LqqtLpq1sHpqL可以看出从拉格朗日函数到哈密顿函数,也可以通过一个勒让德变换实现勒让德变换§5-3正则方程统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。根据哈密顿函数的定义11d(d)dssaaaaaHdLpqqppdqL=0dpdLLLdtqqdtq1.从拉格朗日方程到正则方程11dddssaaaaaaLLLLLdqdqtpdqpdqtqqttsaaaaattLdqppqH1d)d(dsaattHdqqHdppHH1dd比较上述二式,由于都是dq和dp独立的,于是有:=1,2,...sHqpHpq另外根据哈密顿函数是q,p,t的函数:哈密顿正则方程这是2s个一阶常微分方程的方程组,结合初始条件求解,从而完全确定力学系的运动状态。形式优美、简洁对称！tLtH同时由上面的推导还可得到：22112121(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)[(,,)][(,,)]jjjjjjjjjjjjttjjjjjjtttjjjjttjjjjjjtjjHpqtpqLqqtLqqtpqHpqtSLqqtdtpqHpqtdtSpqHpqtdtHHpqpqpqdtpq2211(]ttjjjjjjjjttjjHHqppqdtpqpqdtpq**2.由哈密顿原理导出正则方程2221112112(]()0(0,0)tttjjjjjjjjttttjjjjtttttjjjjjjddpqpqdtpqdtpqdtdtdtpqqqHHSqppqdtpq210,,ttjjjjjjHqppqHpq是任意的正则方程4.能量积分与拉氏方法一样，哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量tHppHqqHtHs1ddtHtHddqHppHq,若H不中