(完整版)大数定律及中心极限定理

1第五章大数定律及中心极限定理【基本要求】1、了解切比雪夫不等式；2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论；3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【学时分配】2学时【授课内容】§5.1大数定律0.前言在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。一、切比雪夫大数定律2事件的频率稳定于概率，能否有pnlimnn，答案是否定的。而是用)(0}{npnPn[依概率收敛]来刻划（弱）。或者用{}1nnPpn[a.e.收敛]来刻划（强）。1.定义：设,,,,21nXXX是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有1limaXPnn，则称序列,,,,21nXXX依概率收敛于a.记为aXPn.2．切比雪夫不等式设随机变量具有有限的期望与方差，则对0，有2)())((DEP或2)(1))((DEP证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()px，则有22()()(())(())()()xExExEPEpxdxpxdx2221()(())()DxEpxdx该不等式表明：当)(D很小时，))((EP也很小，即的取值偏离)(E的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件{}E概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。3．定理1（切比雪夫大数定律）设}{n是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C，使,2,1)(iCDi，则对任意的0，有01111})(Enn{Plimniniiin[即31111()()nnpiiiiEnnn]证明：由切比雪夫不等式知：,0有：)(0)1(1})(11{02222211211nnCnnCnDnDEnnPniiniininiii该定理表明：当n很大时，随机变量n,,1的算术平均值11niin接近于其数学期望11()niiEn，这种接近是在概率意义下的接近。通俗的说，在定理的条件下，n个相互独立的随机变量算术平均值，在n无限增加时将几乎变成一个常数。推论：设n,,1是相互独立的随机变量，由相同的数学期望和方差,2,1)(,)(2iDEii，则,0有0}1{lim1niinnP（即niin11以概率收敛于）这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值n,,1，然后用其平均值niin11来代替。切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli大数定理和辛钦大数定律。二、Bernoulli大数定律定理2：设n是n重Bernoulli试验中事件A出现的次数，而)10(pp是事件A在每次试验中出现的概率，则对0，0limpnPnn证明：令不出现次试验中第出现次试验中第AiAii01，ni,1,2,＝4则12,,,n相互独立且nn＝niin11，PEi)(，11()niiEpn，41)1()(PPDi，ni,1,2,＝故由切比雪夫大数定律立刻推出贝努里大数定律。或者，直接由切比雪夫不等式，对0，有niiniinnEnPPnP111100111212n)p(pnDnii)(n即Pnpn)(n。故{i}服从大数定律。Bernoulli大数定律表表明：事件发生的频率nn依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。切比雪夫大数定律（定理1）中要求随机变量12,,,,n的方差存在，但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，从而我们有以下的定理：三、辛钦大数定律定理3：设随机变量n,,1独立同分布，且具有数学期望(),1,2,iEi，则,0有0}1{lim1niinnP（即niin11以概率收敛于）证明：略。显然，Bernoulli大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。5§5.2中心极限定理0.前言在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的，又由于它在统计中的重要性，称它为中心极限定理这是Poyla在1920年取得名字。设{n}是相互独立的随机变量序列，它们的期望与方差均存在，考虑)()(111niiniiniinDE（标准化和）2,1n，这时对于任意的n都有1,0nnDE，因而当n时，n不至于发生趋向于0或这种情形，这时讨论它的分布才有意义。下面研究n的分布：中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲独立同分布的中心极限定理及其一特殊情形：一、定理1:(Levy-Lindeberg极限定理)[独立同分布的中心极限定理]设}{n是独立同分布的随机变量序列，且2,iiDE（0），,2,1i，均存在，则Rx，有)(21lim212xdtexnnPxtniin证：（略）该定理也可改写为：对ba，有)()(}{lim1abbnnaPniin6在一般情况下，很难求出n个随机变量之和1nii的分布函数，该定理表明：当n充分大时，可以通过()x给出其近似分布，这样就可以利用正态分布对1nii作理论分析或作实际计算，其好处是明显的。二、定理2（DeMoivre-Laplace极限定理）(定理1的特殊情形)设(1,2,)nn是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为10pp，则对,Rx有221lim{}2xnntnpPxdtxnpqe。该定理也可改写为：ba，有lim{}nnnpPabbanpq证明：令次试验不出现成功第次试验出现成功第iii01则}{i为独立同分布的随机变量序列,且,(1)iiEpDpp均存在显然：1nnii，此时nnnpnpq该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。中心极限定理表明：在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是有效的和重要的。作为以上两个定理的应用，我们给出下面例子：例1：一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(kVk，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布。记201kkVV，求)105(VP的近似值。解：)20,,2,1(12100)(,5)(kVDVEkk，由定理1，得)105(VP)20)1210(52010520)1210(520(VP7)387.020)1210(100(VP)387.020)1210(100(1VP)387.0(1348.0即有)105(VP348.0例2:一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为31p，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有30500~29500次纵摇角大于3的概率是多少？解：设}3{纵摇角大于A，31)(pAP，的次数发生次波浪冲击中表示在A90000X。则），（3190000B~X，由定理2得）（）〈（)1(30500)1(X)1(29500P30500X29500Ppnpnppnpnppnpnp))311(3190000319000030500)311(31900003190000X)311(3190000319000029500(P)225()225(995.0