结构力学第七章-位移法

第七章位移法LastEdit:2009.12.062/122本章主要内容：1位移法的概念；2等截面杆件的刚度方程;3无侧移刚架的计算;4有侧移刚架的计算;5位移法基本未知量个数的确定；6位移法的基本体系；7对称性的利用；8采用先离散后组装建立位移法方程；9力法与位移法的比较；课后作业3/1227-1位移法的概念4/1227-1位移法的概念一、关于位移法的简例对称结构，受竖向荷载FP结点B只发生竖向位移D,水平位移为0。aaaa2aFP12345BaiDB'FP位移法中，将竖向位移D作为基本未知量。求出D后，可求出各杆的伸长变形，进而求出各杆的内力。计算分为两步：1从结构中取出一个杆件进行分析2把各杆件综合为结构5/1227-1位移法的概念aaaa2aFP12345BaiDB'FP1从结构中取出一个杆件进行分析aiBAAiBFNiui若已知杆端B沿轴向位移为ui则杆端力FNiiiiiulEAFNiilEA是使杆端产生单位位移时所需要增加的杆端力，称为杆件的刚度系数iiiiulEAFN杆端力FNi和杆端位移ui的关系，称为杆件的刚度方程6/1227-1位移法的概念aaaa2aFP12345BaiDB'FP2把各杆综合成结构。综合时各杆在B端的位移相同。BB'DBaiuiiiΔuasin考虑结点B的静力平衡条件BFPFN1FN2FN3FN4FN551PNsiniiiFFa51P2siniiiiFΔlEAa位移法的基本方程，表明结构位移D和荷载FP的关系由此求出基本未知量:512PsiniiiilEAFΔa7/1227-1位移法的概念aaaa2aFP12345BaiDB'FP512PsiniiiilEAFΔaiiΔuasiniiiiulEAFN求出轴力:512PNsinsiniiiiiiiilEAFlEAFaa代入尺寸：EAaFΔP637.0PN51N159.0FFFPN42N255.0FFFPN3319.0FF2根杆-结构静定，2根杆，超静定；都可用上面的方法算。用位移法计算时，计算方法不因结构的静定或超静定而有所不同。8/1227-1位移法的概念由上面的简例，可以归纳出位移法的两个要点：1）位移法的基本未知量是结构的结点位移；2）位移法的基本方程是平衡方程；3）建立基本方程的过程分为两步：第一步：把结构拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；第二步：再把杆件综合成结构，进行整体分析，得到基本方程。4）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位移法又称为刚度法9/1227-1位移法的概念CABllqEI常数•位移法取单根杆件作为计算基础•(AB杆、AC杆)•把刚结点看成固定支座，•刚结点位移相当于支座位移。•现忽略杆件的轴向变形•则AB、AC杆不伸长也不缩短，•故刚结点A无线位移，只能发生角位移jA。•以jA为基本未知量jAjA10/1227-1位移法的概念CABllqEI常数jAjAAB杆：两端固定，有q，支座A发生jABqjAA参照第六章第八节力法支座位移ABEIEAljAjBD此时支座AjA位移情况下杆端弯矩ΔlEIlEIlEIMΔlEIlEIlEIMBABABAAB22642624jjjjABAAABlEIMlEIMjj24II两端固定超静定梁在均布荷载作用下的杆端弯矩用力法计算12122II2IIqlMqlMBAAB顺时针正逆时针负MABFNABFQAB11/1227-1位移法的概念CABllqEI常数jAjA两者叠加BqjAA)2(122)1(12422qllEIMqllEIMABAAABjj顺时针正逆时针负AC杆：A端固定，C端铰支，支座A发生jAMABFNABFQABCAjAMACFNACFQAC03CAAACMlEIMj考察刚结点AAFQABFNABMABFNACFQACMAC0,0ΣACABAMMM041242AAlEIqLlEIjj求得EIqlA843j12/1227-1位移法的概念CABllqEI常数jAjA)2(122)1(12422qllEIMqllEIMABAAABjj)3(3AAClEIMjEIqlA843j将jA回代到(1)(2)(3)式，求出杆端弯矩222281283281qlMqlMqlMACBAAB根据得到的结果，可画出整体的弯矩图CAB282ql282ql2823ql82ql13/1227-2等截面杆件的刚度方程14/1227-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩等截面直杆AB,惯性矩I常数。已知端点A和B的角位移qA和qB，拟求杆端弯矩MAB和MBAABlDEIjqAqBMABMBAFQABFQBA在位移法中，结点转角qA,qB，弦转角j，杆端弯矩MABMBA，一律以顺时针方向为正。弦转角：lΔj这个正负号规则是针对杆端弯矩的，并不是针对杆中任意截面的弯矩，其目的是便于建立平衡方程。在作弯矩图时，仍然遵循受拉侧为正的符号规则。15/1227-2等截面杆件的刚度方程ABlDEIjqAqBMABMBAFQABFQBA(1)计算简支梁在两端力偶作用下的杆端转角(图a)ABqAqBlMABMBA图a取lEIi杆件的线刚度根据单位荷载法求得BAABBBAABAMiMiMiMi31616131qq(2)简支梁两端有相对竖向位移D时的杆端转角(图b)DABlqAqB图blΔBAqq(3)上述两种情况综合lΔMiMilΔMiMiBAABBBAABA31616131qq16/1227-2等截面杆件的刚度方程ABlDEIjqAqBMABMBAFQABFQBAABqAqBlMABMBA图aDABlqAqB图b(3)上述两种情况综合lΔMiMilΔMiMiBAABBBAABA31616131qq解该联立方程lΔiiiMlΔiiiMBABABAAB642624qqqq转角位移方程由平衡条件求杆端剪力BAABBAABMMlFF1QQ代入已求得的MAB和MBAΔlililiFFBABAAB2QQ1266qq17/1227-2等截面杆件的刚度方程ABlDEIjqAqBMABMBAFQABFQBA写成矩阵形式：lΔiiiMlΔiiiMBABABAAB642624qqqqΔlililiFFBABAAB2QQ1266qqΔlilililiiiliiiFMMBAABBAABqq2Q1266642624弯曲杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数刚度系数仅和杆件的截面尺寸以及材料性质有关。所以又称为形常数。18/1227-2等截面杆件的刚度方程二、杆件在一端具有不同支座时的刚度方程(1)B端为固定支座DAA'BEIlMABMBAqAlΔiiiMlΔiiiMBABABAAB642624qqqq上式中qB=0lΔiiMlΔiiMABAAAB6264qq(2)B端为铰支座DAA'BEIlMABqAMBA=0lΔMiMiBAABA6131q根据又MBA=0lΔiiMAAB33q19/1227-2等截面杆件的刚度方程二、杆件在一端具有不同支座时的刚度方程(3)B端为滑动支座lABEIqAMABMBAB'DΔlililiFFBABAAB2QQ1266qq上式中qB=00QQBAABFFAlΔq21lΔiiiMlΔiiiMBABABAAB642624qqqq代入求得ABAAABiMiMqq20/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩对于下列三种杆件：两端固定一端固定，一端铰支一端固定，一端滑动支承的梁郑版教材201页表7-1高教龙驭球版401页表8-1给出了几种常用荷载作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力。由于固端弯矩和固端剪力仅和荷载形式有关的常数，因此称为载常数。固端弯矩表示：FFBAABMM21/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩常用的固端弯矩和固端剪力BAql12122F2FqlMqlMBAAB22FQFQqlFqlFBAABBAlFPab22PF22PFlbaFMlabFMBAABlblaFFlalbFFBAAB212122PFQ22PFQ当FP作用在跨中a=b=l/288PFPFlFMlFMBAAB22PFQPFQFFFFBAAB22/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩常用的固端弯矩和固端剪力08F2FBAABMqlM8385FQFQqlFqlFBAABBAlqBAlFPab02F222PFBAABMlblbFMallaFFbllbFFBAAB323232PFQ223PFQ当FP作用在跨中a=b=l/20163FPFBAABMlFM1651611PFQPFQFFFFBAAB23/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩常用的固端弯矩和固端剪力632F2FqlMqlMBAAB0FQFQBAABFqlFlaFMlalaFMBAAB2222PFPF0FQPFQBAABFFF当FP作用在B点2PFFlFMMBAABPLQFQFFFBABBAlqBAFPab0RQBF24/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩对于图示情况BAFP1a1FPiail－ail根据叠加原理alalaaqlalaFMliiiABd02222PFBAq(a)adalalalaaqlalaFMliiiBAd02222PF25/1227-2等截面杆件的刚度方程三、由荷载求固端弯矩如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，则根据叠加原理得到杆端弯矩的一般公式：FF642624BABABAABBAABMlΔiiiMMlΔiiiMqqqq杆端剪力的一般公式F2QF2Q12661266QBABABAQABBAABFΔlililiFFΔlililiFqqqq26/1227-3无侧移刚架的计算27/1227-3无侧移刚架的计算如果刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。本节讨论无侧移刚架的计算，连续梁也属于此类问题。【例7-1】画出图示连续梁的弯矩图kN20kN/m2CBA3m3m6m28/1227-3无侧移刚架的计算kN20kN/m2CBA3m3m6m取结点角位移qB（顺时针为正）为基本未知量CBAqB计算杆端弯矩1）荷载作用下的固端弯矩kN206mABFABMFBAMFABFQFBAFQmkN1586208PFFlFMMBAAB查表：kN/m2CFBCMFBCFQ6mmkN9862822FqlMBC2）由杆端位移求杆端弯矩ABlDEIjqAqBMABMBAFQABFQBA00ΔAqBBABABiMiMqq42参考BBCiMq3参考29/1227-3无侧移刚架的计算kN20kN/m2CBA3m3m6m根据上述计算，得到各杆端弯矩：mkN93mkN154mkN152BBCBBABABiMiMiMqqq建立位移法的基本方程，以求出qB，取节点B列平衡方程BMBAMBC0BM0BCBAMM0mkN67BiqiB7mkN6q将qB代入杆端弯矩的计算式，求得：mkN57.119763mkN57.1115764mkN72.161