带传动理论--带传动的动力学分析--机械振动

带传动的动力学对于带传动而言，主要存在三种形式的振动：一是传动系统沿两带轮中心方向的振动，即带传动的纵向振动；二是带沿与带的运动方向相垂直的方向的振动，即带传动的横向振动；三是带传动的扭转振动。这三种形式的振动对带传动的传动特性都将产生严重影响，尤其是当激励频率接近带传动系统的固有频率时，带传动系统将产生共振，并可能造成较大的危害。纵向振动的力学模型如图所示,r1、r2分别为主动、从动轮的半径：I1、I2分别为主动、从动轮的转动惯量：k1为传动带的线性拉伸刚度;θ1、θ2分别为主动，从动轮的转角。图1带传动纵向振动的力学模型假设条件：带轮、传动轴及传动带均为线性弹性体，轴承及机架为刚体：静态条件下，系统各零件处于理论准确安装位置；带轮等传动件不存在摆动；不计重力影响。在带轮输入端，电机将已知运动参数输入，经带轮、传动带及传动轴输出给已知负载。如图1所示，带传动系统所具有的动能T、势能U可分别表示为T=12I1θ12+12I2θ22U=Kr1θ1−r2θ22应用Lagrange动力学方程，则带传动系统的运动微分方程为I1θ1+klr12θ1−2klr1r2θ2=0I2θ2−2klr1r2θ1+2klr22θ2=0(1)假设2kl′r12I1=a,2klr1r2I1=b2kl′r22I2=e,2klr1r2I2=f(2)则方程(1)可表示为θ1+aθ1−bθ2=0θ2+eθ2−fθ1=0(3)纵向振动的固有频率与振型设方程(3)的解为θ1=X1sin(pt+φ)θ2=X2sin(pt+φ)(4)式中，振幅X1和X2、频率p与相角φ都是未知的。将式(4)代入式(3)，整理后可得a−p2X1−bX2sin(pt+φ)=0−fX1+(e−p2)X2sin(pt+φ)=0可见，只需有a−p2X1−bX2=0−fX1+e−p2X2=0(5)式(4)在任何瞬时都满足方程(3)，即式(4)是微分方程(3)的解。当X1=X2=0时，条件(5)显然成立，但这只代表振系的平衡情况，不代表任何振动情形。要使X1与X2有非零解，式(5)的系数行列式必须等于零，即∆=a−p2−b−fe−p2=a−p2e−p2−bf=0(6)或者p4−a+ep2+ae−bf=0(7)这是p2的二次式，称为振系的频率方程，p2的两个根为p1,22=a+e2∓(a+e2)2+(ae−bf)=a+e2∓(a−e2)2+bf(8)将式(2)代入式(8)，可得固有频率p1=0p2=2kl(r12I1+r22I2)(9)现在来求振系的主振型。由方程(5)不能完全确定振幅X1与X2，但可以确定振幅比X1X2=ba−p2X1X2=e−p2f由式(7)可知，这两个表达式总是相等的，以p12与p22代入，可得两个振幅比(X2X1)1=X21X11=a−p12b=fe−p12=λ1(X2X1)2=X22X12=a−p22b=fe−p22=λ2(10)关于相位角φ并无任何限制，故方程(4)的解可以有下列两个形式θ1=X11sin(p1t+φ1)θ2=X12sin(p1t+φ2)(11)θ1=X21sin(p2t+φ1)θ2=X22sin(p2t+φ2)(12)其中，p1对应于(8)中的根号前面取负号，是较低的固有频率，p2对应于式(8)中的根号取正号，是较高的固有频率。由式(8)可知a−p12=a−e2+(a−e2)2+bf0a−p22=a−e2−(a−e2)2+bf0将(2)代入式(10)，得λ1=fe−p12=r1r2λ2=fe−p22=r2I1r1I2(13)及振幅比λ10,λ20。当振系以频率p1振动时，两轮的运动总是同相，二者同时向左或同时向右，如图2-(a)所示；当振系以频率p2振动时，两轮的运动总是反相，如图2-(b)所示。这两种形式的振动称为主振型振动，以较低频率p1进行的称为第一振型；以较高频率p2进行的称为第二振型。由方程(11)与(12)可知，振系的主振型振动是简谐振动，其周期分别为2πp1与2πp2。在每一个周期中，两带轮都两次经过各自的平衡位置，并且同时到达各自的最远距离，他们的位移永远是一个定值。方程(11)与(12)代表微分方程组(1)的两个特解，二者叠加，可得方程组的全解θ1=X11sinp1t+φ1+X12sinp2t+φ2θ2=λ1X11sin(p1t+φ1)+λ1X12sin(p2t+φ2)(14)其中，频率p1与p2以及振幅比λ1与λ2都决定于振系的参数，振幅X11与X12以及相角φ1与φ2则随运动的初始条件而改变。(a)(b系统对外界激励的响应若带传动有初张力F0，考虑由带轮的偏心、传动系统起动不平稳等激励因素引起的、作用在小带轮上的等效简谐力矩M0sinωt，则方程(3)可以写成θ1+aθ1−bθ2=h1sinωtθ2+eθ2−fθ1=0(15)式中：h1=M0I1式(15)为二阶线性常系数非齐次微分方程组。其其次方程解即为上面所讨论过的自由振动，由于阻尼的存在，在一段时间后逐渐衰减掉。非齐次方程的特解则为稳定阶段等幅振动，系统按与激振力相同的频率ω作强迫振动。设其解为θ1=B1sin(ωt)θ2=B2sin(ωt)(16)式中：振幅B1、B2为待定常数。式(16)代入式(15)，得(a−ω2)B1−bB2=h1−fB1+(e−ω2)B2=0(17)解此代数联立方程组，得B1=(e−ω)2h1∇(ω2)B2=fh1∆(ω2)(18)式中：∆ω2=a−ω2e−ω2−bf=p12−ω2(p22−ω2),p1与p2为系统的两个固有频率，其数值可由式(8)确定。将式(2)代入式(18),得B1=(2klr22−I2ω2)M0ω2[I1I2ω2−2kl(r12I2+r22I1)]B2=2klr1r2M0ω2[I1I2ω2−2kl(r12I2+r22I1)](19)故系统在激振力作用下的响应为θ1=(2klr22−I2ω2)M0ω2[I1I2ω2−2kl(r12I2+r22I1)]sinωtθ2=2klr1r2M0ω2[I1I2ω2−2kl(r12I2+r22I1)]sinωt(20)上述结果表明，系统作为与激振力同频率的简谐振动，其振动不仅决定于激振力的幅值，更重要的是与系统的固有频率和激振频率之比有很大关系。由式(18)可见，当激振频率ω等于p1或p2时，系统振幅无限增大，即为共振。两自由度系统的强迫振动有两个共振频率。由式(19)可知，系统的振幅比为B2B1=2klr1r22klr22−ω2I2(21)当ωn12=p12=0,B2B1=r1r2=λ1(22)当ωn22=p22=2klr12I2+r22I1I1I2时，B2B1=−I1r2I2r1=λ2(23)由式(19)知，受迫振动的振幅决定于激振的幅值、频率以及系统本身的物理性质。当ω≫ωn2时，B1=0，B2=0，即当激振力的频率很高时，系统的振幅很小。带传动的横向振动带传动的横向振动主要发生在两个带轮之间的直线段。由于传动带的断面尺寸远小于两带轮之间的中心距，带的抗弯刚度较小，因此带传动的横向振动力学模型可以近似地认为是一张弦的横向振动，其中弦的张力为带传动的张力，弦的长度为两带轮之间的直线部分长度。由于带轮存在偏心或带轮轴承有间隙，将使传动带的两端在垂直于带的方向产生简谐运动。横向振动的力学模型设主动轮的偏心距为e1,从动轮的偏心距为e2，它们与x轴的夹角为φ，如图3(a)所示，坐标x轴的方向为两带轮没有偏心时的切线方向，主动轮的角速度为ω，传动比为I，则传动带两端的简谐运动规律可以近似地表示为y(0,t)=e1sinωt(24)y(l,t)=e2sin(ωti+φ)(25)设在某瞬时t,传动带的位移为y(x,t),支座的位移为yz(x,t),则传动带相对于支座的位移可以表示为y∗x,t=yx,t−yz(x,t)支座的位移可表示为yzx,t=yl,t+y0,t−yl,tll−x=y(0,t)ll−x+y(l,x)lx(a)dxθx+θFF(b)图3带传动横向振动的力学模型因此yx,t=y∗x,t+yzx,t=y∗x,t+l−xle1sinωt+xle2sin(ωit+φ)(26)如图3-(b)所示，取一微元dx，并假设传动带的振动时微小的，即y和∂y∂x均为微小量，则θ≈sinθ≈tanθ=∂y∂x根据牛顿第二定律有Fθ+∂θ∂xdx−Fθ=ρldx∂2y∂t2上式整理得∂2y∂t2=a2∂2y∂x2(27)式中：a为波在传动带中沿长度方向的传播速度，a=Fρl;F为传动带的张力；ρl为传动带的线质量。将式(26)代入式(27),可得∂2y∗∂t2=a2∂2y∗∂x2+ft(28)式中ft=l−xle1ω2sinωt+xle2(ωi)2sin(ωit+φ)方程(28)的解由两部分组成，即y∗x,t=y1∗x,t+y2∗(x,t)(29)其中，y1∗x,t对应于方程28其次方程的解，即满足方程∂2y∗∂t2=a2∂2y∗∂x2(30)称为自由振动解；y2∗(x,t)对应于方程(28)的特解，即满足方程∂2y∗∂t2=a2∂2y∗∂x2+f(t)(31)称为强迫振动解。固有频率及振型将方程(30)的解设为y1∗x,t=YxFt(32)式中：Y(x)表示振型，仅为x表示振动方式，仅为t的函数。将式(32)代入式(30),得a2Yd2Ydx2=1Fd2Fdt2经过分离变量，偏微分方程转化为常微分方程。上式的左边与t无关，右边又与x无关，因此两边都等于同一个常数。设常数为−p2,便得到了两个二阶常微分方程式d2Fdt2+p2F=0d2YdX2+p2a2Y=0因此，可得到上两个方程的解分别为F(t)=Csin(pt+φ)Y(x)=A1sinpax+B1cospax将上两式代入式(32),可得到y1∗(x,t)=CA1sinpax+B1cospaxsin(pt+φ)=(Asinpax+Bcospax)sin(pt+φ)(33)式中：A、B、p和φ为四个待定常数，由传动带两个端点条件和振动的两个初始条件来确定。由于传动带两个端点固定，固有y1∗0,t=0y1∗l,t=0代入式(33)式得B=0，Asinpla=0对于上式，A=0显然不是振动解，因此有sinpla=0(34)式(34)为传动带横向振动的特征方程，即频率方程，由此可求得无限多阶固有频率，即pnla=nπ故pn=nπal=nπlFρl(35)对应于上述无限多阶固有频率，有无限多阶主振动yn(x,t)=Ansinpnaxsin(pnt+φn)(36)对应的主振型为Yn(x)=Ansinpnax=Ansinnπlx(37)式中：An与φn为两个待定常数，由振动的初始条件y1∗x,t和y1∗x,t确定，这说明振幅的大小是与初始条件有关的。在一般情况下，自由振动为无限多阶主振型的叠加，即y1∗(x,t)=An∞n=1sin(pnt+φn)sinnπlx(38)将式（31）的解设为y2∗(x,t)=Yn(t)∞n=1sinnπlx(39)式中：Yn(t)是待定的函数。为确定Yn(t)，将自由项f(t)也按固定函数关系展开成如下形式的级数ft=fn(t)sinnπxl∞n=1(40)式中fn(t)=2lf(t)l0sinnπxldx=2l[l−xle1ω2sinωt+xle2(wi)2l0sin(ωit+φ)]sinnπxldx将式(39)及式(40)代入式(31),得[Yn(t)+anπl2Yn(t)−fn(t)]sinnπxl=0∞n=1Yn(t)+p2Yn(t)−fn(t)=0(41)方程(41)的特解为Yn(t)=2nπ[−e111−(pω)2sinωt+e2(−1)n11−(pωi)2]sin(ωit+φ)(42)因此y2x,t=−e111−pω2sinωt+e2−1n11−pωi2sinωit+φsinnπxl∞n=1(43)由此可见，当激扰频率ω或者ωi接近振系的固有频率p时，理论上振幅将趋近于无穷大，会产生共振。带传动的扭转振动很多因素都可能使带传动产生扭转振动，如带轮和轮轴的加工误差、装配误差及外加随时间变化的扭矩等。扭