函数的表示法(一)

2.1.2函数表示法1.回顾初中函数的表示方法有哪些？（1）一次函数y2x4;月份9101112数学成绩（分）83689786（3）2yx2.下面是函数的哪些表示方法？（2）某同学在一个学期中数学月考的成绩如下表：函数的常用表示方法:（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。（实例1）（2）图象法：就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系。（实例2）（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。（实例3）炮弹发射h=130t-5t2(0≤t≤26)南极臭氧层空洞函数的三种表示法的优点和缺点：优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。三是函数关系清楚，便于研究函数性质。不够形象、直观、具体，一些实际问题很难找到它的解析式。图像法直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。感性观察，不够准确，画面局限性大。列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种方法常常应用到实际生产和生活中去。只能表示有限个元素间的函数关系。例1某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数.xx1,2,3,4,5x12345y510152025y5x,x1,2,3,4,5解：这个函数的定义域是｛1,2,3,4,5｝用列表法表示如下：用图象法可将函数表示为右图：用解析法表示为函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域.第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.测试序号成绩姓名分析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩的变化情况.这对我们的分析很有帮助.解：从图中可以看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.画出下列函数图象:(1)(2)f(x)2x,xR,x2且；f(x)x2,(xN,x3);且1212Oyx4422解：（1）（2）把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.探究点:求函数解析式二、求函数解析式的常用方法有：1.代入法2.待定系数法3.换元法(配凑法)一、函数的解析式:例1.已知函数f(x)=+1，求f(x+2）的解析式解：f(x+2)=(x+2)2+1=x2+4x+52x这种求解析式的方法叫做“直接代入法”。变式练习设f(x)=2x-3,g(x)=x2+2,求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11解：f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1例2.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1,求f(x)的解析式.解:设f(x)=kx+b,则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1.24,1,kkbb2,2,2121.kkbbbb,或2,2,11.3kkbb,或1()2()21.3fxxfxx,或必有(函数类型确定时用此法)适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式.2．待定系数法3．换元法及拼凑法例3：已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．解法一：x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解：21115.(),().xxffxxxx已知求令2111(1)1fxxx11,tx则2()(1)(1.)1fttt即2(1).()1,fxxxx1,1,1xtt21,(1).ttt演练反馈注意点：注意换元的等价性，即要求出t的取值范围.例3画出函数y=|x|的图象.解：由绝对值的概念，我们有y=x,x≥0,-x,x0.图象如下：-2-30123xy12345-1例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象．解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：2,03,5,4,105,1015,5,2015.xxxxy≤≤≤≤y5x10152012345O-2-30123xy12345-1y5x10152012345O有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．y=x,x≥0,-x,x0.2,03,5,4,105,1015,5,2015.xxxxy≤≤≤≤里程x(km)票价y(元)510x≤205x≤1015x≤1520x≤345此函数用列表法表示此分段函数的定义域为(0,20]此分段函数的值域为{2,3,4,5}①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段上的函数解析式是怎样求出的？一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+51.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？oxy演练反馈解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3由条件得：2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？yox点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k演练反馈解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k演练反馈时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务。