第七章理想刚塑性平面应变问题(1)

第七章理想刚塑性的平面应变问题土建学院石东艳第七章理想刚塑性的平面应变问题7.1平面应变问题的基本方程7.2滑移线场理论7.3滑移线的主要性质7.4塑性区的边界条件7.5位移速度方程7.1平面应变问题的基本方程由前面的讨论可知,平面塑性应变状态是物体中各点的塑性流动都平行于给定的xy平面,与z无关。在体积不可压缩和小变形条件下,任一微小单元在塑性应变状态下的畸变增量是一个纯剪变形。所以,每一点的应力状态为一个纯剪应力τ加一个静水压力σm。由此,垂直于流动平面的应力σz应等于σm,实际上,对于平面应变问题有：,0xyyzzxvuxy(,),(,)(,)(,),0xxyyzzxyxyyzzxxyxyxyxy(7-1)增量理论的本构方程给出ijiiijijsdsdd23)](21[32zyxxdd)](21[32xzyyddxyxyddr)](21[32xyzzdd或(7-2)由于得:0zd1()2zxyLevy-Mises条件22222226)(6)()()(kzxyzxyxzzyyx代入将0yzxz222x2y266)(21)(21)(kxyyxyxyx化简：222)(41kxyyx已知σz为一主应力,其他两个主应力由下式确定:223,14)(21)(21xyyxyx(7-3)(7-4)(7-5)在塑性区内主应力为22322214)(21)(21)(214)(21)(21xyyxyxyxxyyxyx最大剪应力为2231max)2(2xyyxk于是主应力可写为：Treca条件kkmmm321(7-6)(7-7)(7-8)考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：上述三个方程,含有三个未知函数σx,σy,τxy,所以在给定应力边界条件时,是可以求解的。当还需要求出位移、速度时,则需补充条件。这类不需要本构关系就可以求出应力分布的问题,称为“静定”问题,如边界上给定位移边界条件,则须考虑位移速度问题,这将在以后讨论。222)(41kxyyx(7-9)7.2滑移线场理论(7.10)一、应力状态分析On21mxy2摩尔图cos2ncos2tsin2nt1212,22若平均正应力最大切应力=(7.11)cos2xcos2ysin2xyn,tx,y(7.12)12zX方向是主应力方向(7.13)12z任一点的应力状态由静水应力与纯剪应力叠加而成。在与主应力1成角的方向上：xyxy,cos2sin2,sin2cos24sin2xsin2ycos2xy(7.15)O微元体上的应力xy45。1(7.14)二、滑移线sin2xsin2ycos2xy(7.16)00xyxxyyxyxy(7.17)代入2(cos2sin2)02(sin2cos2)0xxyyxy双曲线方程Oxy2s1sL取活动坐标Os1s2，s1表示沿的L切线方向，s2为沿的L法线方向1122122(cos2sin2)02(sin2cos2)0ssssss(7.18)特征线方法:xyxdxdydxydddy（在XY平面内,线L给定了函数、）2(cos2sin2)2(sin2c0os20)xxyyxy方程组的解为:1234,,DDxDyDDDxDyD102cos22sin2012sin22cos2,0000kkkkDdxdydxdy其中1234,,,DDDDD分别为将中的第一列,二列,三列,四列各元素代之以0,0,d,d之后形成的行列式(7.19)特征线方法:102cos22sin2012sin22cos20000kkkkDdxdydxdy若D=0,则方程没有唯一解,表明已知L线一侧导数,若无其他条件,就不能求出L线另一侧的导数,具有这种性质的曲线叫做特征线。若D≠0,则方程有唯一解。当最大剪应力max=(1-3)/2=k时，材料进入塑性流动状态。塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力线滑动，所以最大剪应力线（、线）又叫滑移线。如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合:(2)0(2)0ssOxy2s1sL(7.20),2,2dytgconstdxdyctgconstdx沿线:沿线:(7.21)积分22沿线:沿线:(7.22)写成改变量形式亨基方程第一类边值问题,称为初值问题或柯西问题。此问题的特点是在xy平面内的一条光滑线段AB上给定σm和θ,该线段处处不和滑移线相切,且和每一条滑移线只有一次相交,则在该线段的任一侧均可建立以线段AB为底的曲线三角形ABC范围内的惟一的滑移线场。实际上,如在AB上给定σm，θ,则可将AB分成有限个微小线段，并由各分点画出两条特征线。于是,ABC区被分成许多网格,网格的交点分别记作(1,1),(2,2),…,(1,2),(1,3)…根据亨基方程,可得)2,1()2,1()2,2()2,2()2,1()2,1()1,1()1,1(2222kkkkmmmm有：)1,1()2,2()1,1()2,2()2,1()1,1()2,2()1,1()2,2()2,1(221221kkmmmmm类似地可求出σm(2,3),σm(3,4),…,θ(2,3),θ(3,4),…,在ABC区域内各点的σm和θ值均可近似地求出。ABC域称为影响区。第二类边值问题称为初特征问题或黎曼问题。在两滑移线线段OA和OB上,给定函数σm和θ则以此两滑移线段为邻边的曲线四边形OACB内可建立惟一的滑移线场,此问题的特例之一是两滑线之一退缩为一点,从而形成一个扇形场。此时,影响区分别为OACB和OAC。第三类为混合问题,即以上两类问题之混合。在一条特征线上,如α线上OA段给定σm、θ,即σm、θ满足沿OA的平衡条件,另一条与之相交的非特征线OB(假定∠AOB为锐角)上给定θ。7.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出xybaab压力变化与角度变化之间的关系(1)、沿着滑移线的压力变化与滑移线和X轴所成的角度变化成比例，滑移线的方向变化得愈大，即(ab)愈大，平均应力的变化也就愈大。221()21()4CCCCCC(7.27)(2)、如果由一条滑移线l转到另一条滑移线2，则沿任何一个族的滑移线而变化的角和压力的改变值将保持常数。Oxy(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)1.11.22.22.1122112滑移线场的单元网格沿族滑移线沿族滑移线,,,CC过同一点的关系式11111212212122221111221221222111(),()4411(),()441()41()4CCCCCCCCCCCC(7.28)111221221211122122(7.29)同理:(7.30)11122122如果1线沿任意线转到2线,同样可得:11122122Hencky第一定理(7.28)(7.29)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系(3)、假定滑移线网格中各点的坐标(x，y)，值均为已知，则只要知道滑移线网格中任何一点的值，就可定出场内各处的值。11A(已知)BC12AAC沿1线:12BBC1C可算出B即算出12BBC沿1线:12CCC1C可算出C即算出同理，滑移线场内任何点的值均可求出。,,2CC常数常数常数设线的线段是直线2C如果在某些区域中两族滑移线是直线,则在这种区域中的应力是均匀分布的,并且参数C,C是常数。(4)、如果滑移线的某些线段是直线，则沿着那些直线的，，C，C，以及应力分量x，y，xy都是常数。sin2,sin2cos2xyxy常数常数,常数11CC常数(5)、如果族(或族)滑移线的某一线段是直线，则被族(或族)滑移线所切截的所有(或)线的相应线段皆是直线。0ABABABB’A’图设AB为直线AB说明A’B’亦为直线ABBAC在的全部区域中常数(6)、若沿着某一滑移线移动，则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。11RSRS曲率半径:(7.31)DBCA0Rs0RsAB的平行线:考察滑移线面素SSBCSSS()RSSSSSS()RSSSSSSRS(7.32)性质2和为常数11RSRS(7.33)Hencky第二定理AA’B’PQOB如果塑性状态扩张的足够远，曲率半径最后必须变为零。7.4塑性区的边界条件(7.34)一、用、表示的应力边界条件xynTS边界O应力边界条件sin2xsin2ycos2xysin2()sin2()cos2()ntnt将x轴取在n轴方向上1arccos(/)2sin2()ntnm给定n,nt,值(7.35)sin[arccos(/)]nntsin[arccos(/)]nnt2()arccos(/)nt[]2sin[arccos(/)]nt(7.36)平均应力的间断值:二、符号的选择方法OnnA'BBC'C[](,)nn[]t平均应力的间断值xyO1122ABCD给定n，n=-nt后,、的取值需要从整体运动状态来进行判断。例:在右边界上n=1,n=0,取m=0112122tt若:AB边拉力BC边拉力12t0,sin2()14三、刚塑性交界线一根滑移线或滑移线的包络线若:不计刚体位移::0:,0vvvv刚性