离散II2017-习题-2017

Note：如何证明（G,.)是群(1)定义法，共5条(2)半群＋可除条件为群。(群中可除条件成立)(3)有限＋半群＋消去律为群。(群中消去律成立)Note:•可除条件：对于任意a，b∈G，有x使x·a=b，又有y使a·y=b。•消去律：对于G中任意3个元素a,b,c，满足(1)若a*b=a*c,则b=c(2)b*a=c*a,则b=c群的一些结论：◆消去律成立◆其运算表中每一行或每一列中元素互不相同。◆存在唯一的幂等元1（单位元）。◆一元群、二元群、三元群是唯一的，且都是交换群◆含有单位元的半群成为独异点。有限半群，一定含有幂等元•定理6.3.1（判别条件一）群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是(1)若a∈H，b∈H，则a·b∈H；(2)若a∈H，则a-1∈H；(3)H非空•定理6.3.2（判别条件二）(1)H非空(2)若a∈H,b∈H，则a·b-1∈H。•定理6.3.3（判别条件三）群G的一个有限非空子集H是G的一个子群的充分必要条件是H对G的运算是封闭的，即若a∈H，b∈H，则ab∈H。练习：设G=RR，其中R为实数集，G上的一个二元运算定义为：x1,y1x2,y2=x1+x2,y1+y2，+是R上的加运算。又设H={x,y|y=2x,x，yR}证明：（H，）为（G，）的子群。证：G非空，是G上的二元代数运算，且满足结合律，单位元是0,0，任意元素x,y的逆元为-x,-y.故（G，+）为群。显然，H非空。任取H中元素x1,y1，x2,y2，有x1,y1x2,y2-1=x1,y1-x2,-y2=x1-x2,y1-y2=x1-x2,2x1-2x2=x1-x2,2(x1-x2)H所以，（H，）为（G，）的子群。•练习：设G={1,a,b}，(G,*)是群，1是单位元，则（1）给出运算表（2）a2=？（3）a,b的周期是多少？（4）(G,*)是交换群吗？解:(1)*1ab11abaab1bb1a-解：(2)a2=b，(3)a的周期是3,b的周期是3，(4)是交换群；练习：设G={1，5，7，11}，(G,12)为群，其中12为模12的乘法，请给出所有元素的周期和逆元。解：1的周期是1，逆元是1；5的周期是2，逆元是5；7的周期是2，逆元是7；11的周期是2，逆元是11练习：模10的整数加法群(Z10,10)是一个循环群,请写出群中所有的生成元。解：1,3,7,9注：设Zn={0,1,2,…,n-1}，(Zn,n)为模n加法群,并且为一个循环群，共有(n)个生成元素。练习：设集合Sn={1,2,…,n-1}，n是模n乘法，则（1）当n=6时，(Sn,n)是群吗？（2）当n=5时，(Sn,n)是群吗？解：（1）不是（2）是（因为5是质数）注：当n为质数时，(Sn,n)是群练习：设p,q是两个不同的质数，G是一个交换群且|G|=pq，任取G中非单位元素a：（1）若a的周期为p，则H=(a)是G的子群，请问G/H是几元群？（2）任取G中元素b，且b不在H中，请问bH在G/H中的周期是多少？解：（1）G/H是q元群。因为H是p元群，则G/H的元数为pq/p=q（2）bH的周期为q：因为bH是G/H中的元素，而G/H是q元群，所以元素的周期只能为1或q。而b不在H中，所以一定是H不等于bH，bH一定不是单位元，所以周期只能是q。•判断对错：设Z为整数集合，×是整数乘法运算；则代数系统(Z,×)中，1是单位元，且只有1存在逆元素。错的•任意具有多个幂等元的半群能构成交换群。错的（群中只存在唯一幂等元，单位元）•设S3是三次对称群，则H1={I,(12)}不是正规子群H2={I,(123),(132)}是正规子群。对的({I},S3,{I,(123),(132)}为S3正规子群)•设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c=1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、cG。解：x=b-1a-1c-1•设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？解：e•设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗?解：是•设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？解：不存在，存在•所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？解：不同构，同构(4元群在同构意义下，有2种，一个是4元循环群；一个是Klein4元群—即除单位元外，其余3个元素周期都为2.如:S4中的{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)})•设=(1324),=(134),请把写成若干对换乘积解：=(1432)＝(12)(13)(14)求陪集的简单方法若G是一个有限群，求H的右陪集：首先，H本身是一个；任取a∈G,aH而求aH又得到一个；任取b∈G,bH∪aH而求bH又得到一个；如此类推，因G有限，最后必被穷尽，而G=H∪aH∪bH∪…。定理6.4.3设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群.称为G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。GG•设群G={a,b,c,d,e,f}，G上的运算*定义如运算表所示。请写出(d)的所有左陪集，及G/(a)。•解：其所有左陪集{e,d}、{a,c}、{b,f}•G/(a)={{e,a,b},{c,d,f}}*eabcdfeeabcdfaabedfcbbeafcdccfdebaddcfaebffdcbae练习：设Q为有理数，其上利用数的加，乘，减定义一个运算*如下：a*b=a+b-ab.(1)(Q,*)是半群吗？(2)求单位元(3)Q中元素有逆元素吗？如果有，请给出。证明:(1)Q非空，*运算封闭，下面证*满足结合律(a*b)*c=(a+b-ab)*c=a+b-ab+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abca*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-c+abc.因此，(Q,*)是半群。练习：设R是实数集合，群G={(a,b)|a,bR,a≠0},群G中的乘法是(a,b)(c,d)=(ac,ad+b)(1)试证K={(1,b)|bR}是G的正规子群(2)证明G/K同构于R*。其中R*是非零实数的乘法群。证明:(1)先证K为G的子群因G中单位元为(1,0)∈K,K非空。任取(1,a),(1,b)∈K，(1,b)-1=(1,-b)，(1,a)(1,b)-1=(1,a)(1,-b)=(1,a-b)∈K,K为子群。再证K为正规子群，即任意g∈G，gKg-1K任取g=(a,b)∈G,(1,x)∈K,g-1=(a,b)-1=(1/a,-b/a)(a,b)(1,x)(1/a,-b/a)=(1,ax)∈K.•(2)证明：令是G到R*内映射，((a,b))=a,显然是G到R*上的映射。下面往证是同态映射。((a,b)(c,d))=(ac,ad+b))=ac(a,b)=a,(c,d)=c,因此有((a,b)(c,d))=(a,b).(c,d)即为G到R*上的同态映射，核N为-1(1)={(1,b)|b∈R}=K因此，G/K同构于R*练习：(1)计算σ=(132)(234)(2)写出有σ生成的循环群H(3)H是S4的子群，写出H在S4中的指数。解：(1)σ=(134)(2)H={I,(134),(143)}(3)H在S4中的指数为8.H在G中指数:有限群G的元数除以H的元数所得的商记为（G：H），称作H在G中的指数。H的指数也就是H的右(左)陪集的个数.练习：设G是群，G存在非平凡子群，设H是G中所有非平凡子群的交集且H≠{1}，1是群G的单位元，证明：（1）H是G的子群；（2）H中每个元素的周期都有限；（3）H是一个循环群，且|H|为质数。•(1)证明：①由于所有子群都包含1，所以1H，故H非空；②对于任意a、bH，则有a、b每一个子群，故每一个子群中都有b-1，所以每一个子群中都有ab-1，所以ab-1H。（2）H中每个元素的周期都有限；证明：反证法，假设存在aH，a的周期为0，则H={…a-4,a-3,a-1，a0，a1,a2，a3,a4，…},从而得到H’={…a-4，a-2，(a2)0，a2，a4，,a6…}，则H’也是G的子群，但aH’，已知H是G的所有子群的交集，故aH，矛盾。所以假设不成立，原结论成立。（3）H是一个循环群，且|H|为质数。•如果H为无限群，则G的每一个子群必无限；由(2)知，任意元素aH的周期n均有限，则（a）为G的n元有限子群，矛盾。故H必为有限群。•已知H≠{1}，故|H|=n必大于1，假设n不为质数，设n=hk，根据拉格朗日定理，必存在元素aH，满足ahk=1，则由ah生成的循环子群（ah）必为G的子群，则G的所有子群的交集应该为（ah）而不是H，矛盾。•故原假设不成立，|H|一定是质数，故H一定是循环群。置换的奇偶性σ为n元置换，设σ表为k个不相杂的轮换的乘积(包括长度为1的轮换在内)，长度分别为r1，r2，…，rk。若=n-k为奇数（偶数），则称σ为奇置换（偶置换）。kjjr1)1(置换的奇偶性结论：奇置换可表为奇数个对换之积，偶置换可表为偶数个对换之积。结论：偶×偶=偶奇×奇=偶偶×奇=奇奇×偶=奇•习题6.2—9：试n个元素的所有置换作成n次对称群。(1)证明n个元素的所有偶置换作成群（叫做n次交代群An）。•(1)解:先证n次交代群An为群①An非空，恒等置换I属于An②置换乘法在An上封闭，偶置换×偶置换=偶置换③置换乘法满足结合律④有单位元I(恒等置换)∈An，σI=Iσ=σ⑤对于任意一个σ∈An，都存在一个σ-1∈An，使σσ-1＝I。因Sn为n次对称群，σ在Sn中必有逆，σσ-1＝I，σ为偶置换，I为偶置换,因此，σ-1为偶置换∈An•(2)写出四次交代群中的元素。(3)n次交代群An的元数为何？解(2)：A4：I(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)；(12)(34),(13)(24),(14)(23)解(3):!21n•习题6.3-1写出三次对称群的所有子群。解:S3={I,(12),（13）,（23）,（123）,(132)}由Lagrange定理，子群的元数只能为1,2,3,6元数为1的子群({I},·)元数为2的子群(元数为质数的群一定为循环群)以(12)为生成元：(｛I,（12）｝，·)以(13)为生成元：(｛I,（13）｝，·)以(23)为生成元：(｛I,（23）｝，·)元数为3的子群一定为循环群以(123)为生成元：({I,（123）,（132）}，·)元数为6的子群:S3习题6.3--4.（1）设G是群，a∈G，证明：若a的周期为2，则a-1=a。(2)设群G除了单位元以外每一个元素的周期均为2，证明：G是Abel群。•证明：(1)令1是G中的单位元素，则有a2=a·a=1，所以a-1=a。(2)由(1)的结论，a-1=a。设a，b是G中任意两个元素，有abG和(ab)-1G，因而ab=(ab)-1=b-1a-1=ba，所以G是Abel群。•习题6.3-6设G是6元循环群，(1)试找出G的所有生成元，(2)并找出G的所有子群。解:(1)设G={1,a，a2，a3，a4，a5}，a和a5是G的生成元(2)循环群的子群仍是循环群，故用G的每个元素去生成群，即得G的子群，{1}，(a3)={1，a3}，(a2)={1，a2，a4}，以及G习题6.3--7.试证明元数为pm的群一定包含一个元数是p的子群，其中p为质数，m≥1。证明：设G为元数为pm的群，任取G中一非单位元的元素a则a的周期n一定整除pm，且n≠1,不妨设n=pk,1≤km。若k=1，则a的周期为p，(a)即为元