机械工程控制基础知识总结

12.1系统的微分方程微分方程在时域中描述系统动态特性的数学模型线性系统能用线性微分方程描述叠加定理分析法试验方法列写微分方程的一般方法1、确定系统或各元件的输入量输出量2、按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律，列写出在运动时各个环节的动态微分方程3、消除所列各微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程4、整理所得微分方程，一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程右侧，各阶导数项按降幂排列2.2系统的传递函数（注意P45）传递函数()()()oiXsGsXs()oXs()()()oiXsGsXs特点1、传递函数的分母与分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性和系统同外界的关系2、若输入已经给定，则系统的输出完全取决于传递函数3、传递函数中分母中s的阶数n必不小于分子中s的阶数m4、传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的5、物理性质不同的系统、环节或原件，可以具有相同类型的传递函数典型环节的传递函数*1、比例环节2、惯性环节3、微分环节4、积分环节5、振荡环节6、延时环节1、()GsK2、1()1GsTs3、()GsTs4、1()GsTs5、222()2nnnGsss6、()sGse2.3系统的传递函数方框图及其简化系统的方框图方框图的要素1、函数方框：传递函数的图解表示21、函数方框2、相加点3、分支点2、相加点：信号之间代数求和运算的图解表示3、分支点：表示同一信号向不同方向的传递系统方框图的建立1、建立系统（或原件）的原始微分方程2、对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各Laplace变换式中的因果关系，会出相应的方框图3、按照信号在系统中的传递、流向，依次将各传递函数方框图连接起来，系统输入量置于左端，输出量置于右端串联环节的等效变换规则12()()()GsGsGs并联环节的等效变换规则12()()()GsGsGs前向通道传递函数()()()oXsGsEs反馈回路传递函数()()()oBsHsXs开环传递函数（量纲）*()()()()()KBsGsGsHsEs开环传递函数无量纲闭环传递函数（正负号规则）*()()()()1()()oBiXsGsGsXsGsHs若相加点()Bs处为负号，则()()GsHs前为正号；若相加点()Bs处为正号，则()()GsHs前为负号。单位反馈1()1()BGsGs分支点、相加点移动规则分支点前移，相加点后移→补()Gs分支点后移，相加点前移→补1()Gs分支点之间、相加点之间相互移动规则分支点、相加点间的相互移动，均不改变原有数学关系；分支点相加点之间不能相互移动。化简方法通过移动分支点或相加点，消除交叉连接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈连接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。3直接公式求法（条件）()()()1[]oiXsGsXs前向通道的传递函数之积每一反馈函数的开环传递函数1、整个方框只有一条前向通道；2、各局部反馈回路存在公共的传递函数方框。2.5相似原理1、对不同的物理系统（环节）可用形式相同的微分方程与传递函数来描述。2、可以用相同的数学方法对相似系统加以研究；可以通过一种物理系统去研究另一种相似的物理系统。3.1时间响应及其组成分类1、按振动性质分2、按振动来源分1、按振动性质分：自由响应（自由振动）、强迫振动（由作用力引起）2、按振动来源分：零输入相应、零状态响应3.2典型输入信号3.3一阶系统微分方程()()()ooidxtTxtxtdt传递函数*()1()()1oiXsGsXsTs特征参数*T过渡过程*指数曲线衰减到初值的2%之前的过程过渡时间（调整时间）*4stT一阶系统的单位脉冲响应*1()tTteT一阶系统的单位阶跃响应（瞬态项、稳态项）*()1tTouxte两个重要特征点*1、0t时，系统的响应()ouxt的切线斜率等于1T；2、tT时，系统的响应()ouxt达到了稳态值的63.2%。3.4二阶系统动力学方程2222()()2()()oonnnidxtdxttxtdtdt传递函数*222()2nnnGsss4特征参数n（无阻尼固有频率）、（阻尼比）上升时间（定义、公式）*定义：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间。公式：rdt（21arctan，21dn）峰值时间（定义，公式）*定义：响应曲线达到第一个峰值所需的时间公式：pdt（21dn）调整时间：（定义，公式）*定义：在过渡过程中，()oxt取的值满足|()()|()oooxtxx时所需的时间公式：40.02,snt30.05,snt最大超调量（定义，公式）*定义：()()100%()opopoxtxMx公式：21100%pMe振荡次数（定义，公式）*定义：在过渡过程时间0stt内，()oxt穿越其稳态值()ox的次数的一半公式：2210.02,N21.510.05,N3.5高阶系统51、当系统闭环极点全部在s平面左半平面时，其特征根有负实根及其复根有负实部，因此系统是稳定的，跟分量衰减的快慢，取决于极点离虚轴的距离；2、极点位置距离原点越远，则对应项的幅值就越小，对系统的过渡过程的影响就越小。当极点和零点很靠近时，对应项的幅值也很小系数大而且衰减慢的那些分量，在动态过程中起主导作用。3、主导极点：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于其他极点实部的15，并且附近不存在零点，可以认为系统的动态响应主要由这一极点决定。利用主导极点的概念，可以将主导极点为共轭复数极点的高阶系统，降阶近似作为二阶系统来处理。3.6系统误差分析与计算误差*()()()oroetxtxt（以输出端基准来定义的）1()()()oroEsXsXs偏差*()()()itxtbt（以输入端为基准来定义）()()()iEsXsBs1()Es与()Es的关系*1()()()EsHsEs（偏差=误差×反馈函数）误差的一般计算1()()()()()iXiNEssXssNs1()()()iiXXsGsHs()()NNsGs稳态误差（定义，计算式）*定义：lim()ssteet计算式：10lim()lim()sstseetsEs稳态偏差（定义，计算式）*定义：lim()sstt计算式：0lim()lim()sststsEs11(1)()(1)miiKnjjKTsGssTs6型次与系统的关系*型次越高，稳态精度越高，但稳定精度越差当输入为单位阶跃信号时系统的稳态误差0型系统：11ssKI型系统：0ssII型系统：0ss当输入为单位斜坡信号时系统的稳态误差0型系统：ssI型系统：1ssKII型系统：0ss当输入为加速度信号时系统的稳态误差0型系统：ssI型系统：ssII型系统：1ssK归纳1、关于以上定义的无偏系数的物理意义：稳态偏差与输入信号的形式有关，在随动系统中一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”无偏系数，它表示了稳态的精度。“某种”无偏系数越大，精度越高；当无偏系数为零时即稳态偏差，表示不能跟随输出；无偏系数为则为稳态无差。2、开环：型别↑→准确性↑稳定性↓K↑→准确性↑稳定性↓3、根据线性系统的叠加定理，可知当输入控制信号是上述典型的线性组合时，输出量的稳态误差应是他们分别作用时稳态误差之和。4、对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。当增加系统的型别时，系统的准确性将提高。当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数目的方法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差。4.1频率特性概述频率响应线性定常系统对谐波输入的稳态响应幅频特性（文字定义，公式定义，作用）文字定义：线性系统在谐波输入下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率的7函数公式定义：()()oiXAX作用：描述了在稳态情况下，当系统输入是不同频率的谐波信号时，其复制的衰减或增大特性。相频特性（文字定义，作用，正负）文字定义：稳态输出信号与输入信号的相位差()也是的函数作用：描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生超前[()0]或滞后[()0]的特性。正负：正值：逆时针方向；负值：顺时针方向频率特性幅频特性()A和相频特性()的总称频率特性与传递函数的关系()()|()|jGjGGje是将()Gs中的s用j取代后的结果。4.2频率特性的图示方法Nyquist图当从0→时，()Gj端点的轨迹典型环节的Nyquist图（略）绘制Nyquist的概略图形的一般步骤1、由()Gj求出其实频特性Re[()]Gj、虚频特性Im[()]Gj和幅频特性|()|Gj、相频特性()Gj的表达式；2、求出若干特征点，如起点(0)、终点()、与实轴的交点(Im[()]0)Gj、与虚轴的交点(Re[()]0)Gj等，并标在极坐标图上；3、补充必要的几点，根据|()|Gj、()Gj和Re[()]Gj、Im[()]Gj的变化趋势以及()Gj所处的象限，作出8Nyquist曲线的大致图形。Bode图频率特性的对数坐标图对数坐标图的横坐标和纵坐标横坐标：频率纵坐标：()Gj的幅值（对数幅频特性图）或度（对数相频特性图）十倍频程（dec）*频率从任意数值0增加(减小)到1010（1010）时的频带宽度在对数坐标上为一个单位。分贝（dB）的定义120lg|()|dBGj0dB输入幅值等于输出幅值比例环节Bode图*频率特性：()GjK对数幅频特性：20lg|()|20lgGjK相频特性：()0Gj对数幅频特性曲线：一条高度等于20lgK的水平线对数相频特性曲线：与0o重合的一条直线自：0时，20lg||40G积分环节的Bode图*频率特性：1()Gjj对数幅频特性：20lg|()|20lgGj相频特性：()90Gj对数幅频特性曲线：在整个频率范围内是一条斜率为20/dBdec的直线。当1时，20lg|()|0Gj。对数相频特性曲线：在整个频率范围内为一条90的水平线。自：0时，20lg||40G9微分环节的Bode图频率特性：()Gjj对数幅频特性：20lg|()|20lgGj相频特性：()90Gj对数幅频特性曲线：在整个频率范围内是一条斜率为20/dBdec的直线当1时，20lg|()|0Gj。对数相频特性曲线：在整个频率特性范围内为一条90的水平线。绘制系统Bode图的一般步骤1、将系统的传递函数()Gs转化为若干个标准形式的环节的传递函数（即惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节的传递函数中常数项均为1）的乘积形式；2、由传递函数()Gs求出频率特性()Gj；3、确定各环节的转角频率；4、作出各环节的对数幅频特性渐近线；5、根据误差修正曲线对渐进线进行修正，作出各环节对数幅频特性的精确曲线；6、将各环节的对数幅频特性叠加（不包括系统总的增益K）；7、将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性；8、作各环节的对数相频特性，然后叠加而得到系统总的对数相频特性；9有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上。4.3频率特性的特征量零频幅值(0)A，表示当频率接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。复现频率M，在事先规定一个作为反映低频输入信号的允许误差，那么复现频率M就是幅频特性值