椭圆的简单几何性质教学设计

《《椭椭圆圆的的简简单单几几何何性性质质》》教教学学设设计计哈工大附中闫晓丽教材：人民教育出版社A版选修1—1【教学目标】1.知识目标：(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。3.德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。(2)通过“神舟7号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。【教学过程】一．创设情境教师：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟七号”飞船在变轨前绕地球运行的模拟图）：2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。二．探索研究1.范围教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？学生能答出：椭圆围在一个矩形内。1教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a,y=±b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。教师：下面我们想办法再用方程22ax+22by=1(ab0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由22ax+22by=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．对称性的发现与证明教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是22ax+22by=1。教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。教师对学生的证明进行评价。教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示对称性并总结：方程22ax+22by=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称2中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。投影显示下图及问题yox问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。3.顶点的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得y=±b，因此B1(0,-b),B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0),A2(a,0)。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1,A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。4．离心率教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。3即当比值ab越小，椭圆越扁；比值ab越大，椭圆越接近于圆。由于ab=aca22=222aca=2)(1ac，所以当ac越大时，ab越小，椭圆越扁；当ac越小时，ab越大，椭圆越接近于圆。把比值e=ac叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。结论：椭圆在-a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。由上面的分析可以看到，比值ab、ac的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什么定义ac是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到ac还有更重要的几何意义。三．巩固与创新应用例1求椭圆400251622yx的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。解：由于a=5,b=4，c=1625=3椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8离心率e=ac=53因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。练习：如果把例1中的椭圆方程改为162x+252y=1，则长轴长、短轴长、离心率和顶点有什么变化。此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过与上题4做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐标系的选取无关。学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书）例2我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为22ax+22by=1(ab0)。下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。｜F2A｜=6371+200，｜F2B｜=6371+350又∵｜F2A｜=｜oA｜-｜oF2｜=a-c因此,有a-c=｜oA｜-｜oF2｜=｜F2A｜=6371+200=6571同理,得a+c=｜oB｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721解得a=6646，c=75b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582因此，飞船的轨道方程为226646x+2258.6645y=1学生可能出现的另一种解法：由2a=｜AB｜=｜BN｜+｜NM｜+｜MA｜=350+2×6371+200∴a=6646c=｜oF2｜=｜oA｜-｜F2A｜=6646-6371-200=75以下做法同上。计算过程由学生用计算器求得。教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。四．总结提炼教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识）51.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中注意运用。3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。五.课外阅读课本43页用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆板书设计椭圆的性质一．性质二．应用以方程22ax+22by=1(a＞b＞0)为例研究例11.对称性.椭圆关于x轴、y轴及原点对称.2.顶点.顶点坐标:(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b).3.范围.椭圆位于x=±a,y=±b围成的矩形内.4.离心率.e=ac(0e1)