第3章---完整版习题解答

第三章部分习题解答（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs，每次复加需20μs，今用来计算N=1024点的)]([nxDFT，问用直接运算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？解：101010,21024,)()(NnnkNMNWnxkX直接运算所需的总时间为sNNsNTd20)1(1002秒分62126201023102410010242sssFFT运算所需总时间为sNMsMNTF201002sss717.020101024100101024213.2在基-2FFT算法中，最后一级或开始一级运算的系数10NpNWW，即可以不做乘法运算。问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？解：可节省2N次，所占百分比为%100log1%100log2222NNNN如8N则为%3.33%100313.3(1)试推导N点按频域抽取的基-2FFT的一级分解递推式。(2)画出8N时输入正序、输出倒序的按频域抽取FFT信号流图。(3)若MN2，请给出FFT总的复数乘法次数和复数加法次数。(4)MN2时，DIF-FFT共需多少级分解？每级运算要计算的碟形运算有多少个？解：（1）设序列点数为MN2，M为整数。在把输出)(kX按k的奇偶分组之前，先把输入序列按前一半、后一半分开（不是按偶数、奇数分开），把N点DFT写成两部分1212010)()()()(NNnnkNNnnkNNnnkNWnxWnxWnxkX=120)2(120)2()(NnkNnNNnnkNWNnxWnx=nkNNnNkNWWNnxnx1202/])2()([，1,,1,0Nk由于12/NNW，故kNkNW)1(2/，可得nkNNnkWNnxnxkX120)]2()1()([)(，1,,1,0Nk当k为偶数时，1)1(k；k为奇数时，1)1(k。因此，按k的奇偶可将)(kX分为两部分nrNNnWNnxnxrX2120)]2()([)2(nrNNnWNnxnx2/120)]2()([12,,1,0Nr)12(120)]2()([)12(rnNNnWNnxnxrXnrNnNNnWWNnxnx2/120})]2()([{12,,1,0Nr令nNWNnxnxnxNnxnxnx)]2()([)()2()()(2112,,1,0Nn（1）则1202/21202/1)()12()()2(NnnrNNnnrNWnxrXWnxrX12,,1,0Nr（2）式（1）与式（2）即构成了N点按频域抽取的基-2FFT的一级分解递推式。（2）8N时输入正序、输出倒序的按频域抽取FFT信号流图如下。（3）MN2，FFT总的复数乘法次数NNMF2log21总的复数加法次数NNAF2log(4)MN2时，DIF-FFT共需M级分解，每级运算要计算的碟形运算有2N个。3.4考虑图T3-1中的蝶形。这个蝶形是从实现某种FFT算法的信号流图中取出的。从下述论述中选择出最准确的一个：（1）这个蝶形是从一个按时间抽取的FFT算法中取出的。（2）这个蝶形是从一个按频率抽取的FFT算法中取出的。（3）由图无法判断该蝶形取自何种FFT算法。-12NW图T3-1蝶形运算解：答案为3。因为按时间抽取的FFT算法和按频域抽取的FFT算法中均具有该种蝶形运算。3.5假设要将一个长度16N的序列)(nx重新排列为倒位序作为某一FFT算法的输入。给出新的倒位序后序列的样本序号。解：4162N，故可用4为二进制数来表达长度为16的序列。即：自然顺序0，1，2，┄，15的二进制表达为0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111码位倒置后的二进制表示为0000100001001100001010100110111000011001010111010011101101111111则新的倒位序后序列的样本序号为：0，8，4，12，2，10，6，14，1，9，5，13，3，11，7，15。3.6图T3-2所示的蝶形运算是从16点按时间抽取的FFT获得的。假设16点FFT有四级运算，标示为1,2,3,4m。则对每一级来说，r的可能值为多少？-1rW16图T3-2蝶形运算解：根据按时间抽取的FFT算法的原理可知，四级中的每一级r的可能值为0,1rm4,0,2rm6,4,2,0,3rm7,6,5,4,3,2,1,0,4rm3.7图T3-3所示的蝶形运算是从16点按时间抽取的FFT获得的，16点FFT有四级运算，序号标示为1,2,3,4m。则四级中的哪一级具有这种形式的蝶形运算？图T3-3蝶形运算解：根据按时间抽取的FFT算法的原理可知，具有这种形式的蝶形运算有两级，即3m（第三级）和4m（第四级）3.8图T3-4所示的蝶形运算是从16点按频域抽取的FFT获得的，在这儿，输入序列被安排为按自然顺序输入。注意16点FFT有四级运算，标示为1,2,3,4m。四级中的哪一级具有这种形式的蝶形运算？-1316W图T3-4蝶形运算解：输入自然顺序，输出倒序的按频域抽取的基-2FFT算法每级运算的蝶式有2N个，每一级的蝶形运算系-1216W数如下:第一级有2N个系数，第二级有4N个系数……，第M级有1个系数。第一级系数为nNW，012Nn，第二级系数为2/2nnNNWW，014Nn，……，第m级系数为2,0,1,,21,MmkMmWk，第M级系数为0NW。从以上分析可知，具有T3-4所示的蝶形运算只能四级中的第一级：即1m3.9假设已知一个N=32的FFT算法在其第5级（最后一级）的一个蝶形中具有“旋转”因子232W。问该FFT算法为按时间抽取算法还是按频率抽取算法。解：N=32的按时间抽取FFT算法在其第5级（最后一级）共有2N个不同的蝶形运算系数，其系数为kNW，120Nk。而N=32的按时间抽取FFT算法在其第5级（最后一级）仅有1个蝶形运算系数，即为0NW。故本题的解答为，该FFT算法为按时间抽取算法。3.10考虑图T3-5中的信号流图。假设该系统的输入)(nx是一个8点的序列。选择a和b的值使得)8/6()8(jeXy。图T3-5解：2)632cos(2a，36/8812kjNjbWWe3.11以20kHz的采样率对最高频率10kHz的带限信号()axt采样，然后计算)(nx的1000N个采样点的DFT，即210()()NjnkNnXkxne，1000N.（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?（2）在()Xk中，200k对应的模拟频率是多少?（3）在()Xk中，700k对应的模拟频率是多少?解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:20000201000sffHzN（2）200k对应的模拟频率为20000200400041000skffkHzkHzN（3）因700k大于N/2,故其对应的模拟频率为20000()300600061000skffNkHzkHzN3.12对一个连续时间信号)(tx采样1s得到一个4096个采样点的序列：(1)若采样后没有发生频谱混叠，)(tx的最高频率是多少？(2)若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间的频率间隔是多少Hz?(3)假定我们仅仅对HzfHz300200频率范围所对应的DFT采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT则需要多少次？解：（1）由题意可知：4096sfHz，故)(tx的最高频率/22048hsffHz（2）409614096sffHzN（3）直接用DFT计算，所需要的复乘次数为(3002001)1014096413696dMN若用按时间抽取FFT则需要的复乘次数为10log204812245762FNMN3.13下面是三个不同的信号)(nxi，每个信号均为两个正弦信号的和：)64/17cos()4/cos()(1nnnx)64/21cos(8.0)4/cos()(2nnnx)64/21cos(001.0)4/cos()(3nnnx我们希望利用一个加有64点矩形窗)(nw的64点DFT来估计每个信号的谱。指出哪一个信号的64点DFT在加窗后会有两个可区分的谱峰？解：利用64点DFT来估计信号谱时，其频率分辨率为264信号)64/17cos()4/cos()(1nnnx的两个余弦信号的频率间隔为：11726446464故利用64点DFT来估计信号谱时，不能分辨1()xn中两个正弦信号的谱峰。信号2()xn的两个余弦信号的频率间隔为：221526446464故利用64点DFT来估计信号谱时，能够分辨2()xn中两个正弦信号的谱峰。信号3()xn的两个余弦信号的频率间隔为：321526446464，但由于频率为2164的余弦信号的幅度0.001，仅是另一个信号幅度的1/1000,因此利用64点DFT来估计信号谱时虽频率上可分辨，但幅度上不可分辨。所以还是不能分辨3()xn中两个正弦信号的谱峰。因此在三个信号中，仅有)(2nx信号的64点DFT在加窗后可以希望看到两个可区分的谱峰。3.14图T3-6表示了信号)(nv的128点DFT)(kV的幅度)(kV。该信号)(nv是将)(nx与一个128点矩形窗)(nw相乘后得到的，即)()()(nwnxnv。注意，图T3-6只画出了在区间640k上的)(kV值。下列信号中哪个是)(nx？也就是说，哪个信号与图中所给出的信息一致？)26.0cos()4/cos()(1nnnx)8/sin()3/1()4/cos()(2nnnx)8/cos()3/1()4/cos()(3nnnx)16/cos()3/1()8/cos()(4nnnx)8/cos()4/cos()3/1()(5nnnx)3/8/cos()3/1()4/cos()(6nnnx图T3-6解：利用128点DFT来估计信号谱时，其频率分辨率为2128频率为的余弦信号cos()n或正弦信号sin()n的谱峰出现在k和N-k处，且频谱的振幅为N/2。其中2/128k。因为利用128点DFT来估计cos(0.26)n信号谱时，频谱有泄漏，因此1()xn的频谱明显与图T3-6不符。226416,11264()[()]21.38,12030kXkDFTxnk其它336416,11264()[()]21.38,12030kXkDFTxnk其它44648,12064()[()]21.34,12430kXkDFTxnk其它556421.316,1123()[()]648,1200kXkDFTxnk其它666416,11264()[()]8,12030kXkDFTxnk其它从以上分析中可知，信号)(2nx，)(3nx，)(6nx可能是)(nx。3.15试导出16N时的基-2按时间抽取算法和按频率抽取算法FFT，并分别画出它们的流图。3.16利用DFT公式求出并画出8N点基-2按频率抽取的FFT算法信号流图，利用这个信号流图，求下面序列的DFT：70),2/cos()(nnn