机器人数学基础

机器人技术数学基础MathematicPreparationforRobotics2.1位置和姿态的表示2.2坐标变换2.3齐次坐标变换2.4物体的变换及逆变换2.5通用旋转变换Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示1.位置描述在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.TzyxApppP][Robotics数学基础2.1位置和姿态的表示上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR11BBRABTABAB333231232221131211rrrrrrrrrABRRobotics数学基础2.1位置和姿态的表示这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.pBpApBpBpApBpBpAzzyxyyxxcossinsincospBpBpBpApApAzyxzyx1000cossin0sincosRobotics数学基础2.1位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标.3)可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.RABRABpBpARABRobotics数学基础2.1位置和姿态的表示3.位姿描述刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即0BAABpRBRobotics数学基础2.2坐标变换1.平移坐标变换坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:0BABAPPPRobotics数学基础2.2坐标变换2.旋转变换坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:PRPBABATABABBARRR1Robotics数学基础2.2坐标变换3.复合变换一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:(2-13)0BABABAPPRPRobotics数学基础2.2坐标变换例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.0612;1000866.05.005.0866.0)30,(00BAABzRpR0562.13908.1106120562.7902.00BABABAppRpRobotics数学基础2.3齐次坐标变换1.齐次变换(2-13)式可以写为:(2-14)P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:(2-15,16)11010PPRPBBAABATBBBBTAAAAzyxzyx1,1PP10,0BAABABBABAPRTPTPRobotics数学基础2.3齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.1000100010001),,(cbacbaTrans190612321000710030104001Robotics数学基础2.3齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR100001000000),(100000001000),(100000000001),(cssczcsscycsscxRRRRobotics数学基础2.3齐次坐标变换引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。例2-4：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。1273;;;1237;;;1000010000010010)90,(zR1372;;;1273;;;1000010100100100)90,(yR;;;1000710030104001)7,3,4(TransRobotics数学基础2.3齐次坐标变换由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。1000701030014100)90,()90,()7,3,4(zRotyRotTransRobotics数学基础2.4物体的变换及逆变换1.物体位置描述物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。Robotics数学基础2.4物体的变换及逆变换1.物体位置描述11111144000011111144664411111100220044000011111110000010000141001000001000014100)90,()90,()0,0,4(zRotyRotTransTRobotics数学基础2.4物体的变换及逆变换2.齐次坐标的复合变换{B}相对于{A}:ABT;{C}相对于{B}:BCT;则{C}相对于{A}:1010100000BACBABBCABCBBCBAABBCABACppRRRpRpTTTTRobotics数学基础2.4物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换{B}相对于{A}:ABT;{A}相对于{B}:BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法0ppRpTpRRpRT000100)(1010ABBABABABABBATABTABABBABARobotics数学基础2.4物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换一般,若则1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT10001apopnpTzyxzyxzyxaaaooonnnTzyxTzyxTzyxTzyxaaaooonnnpppaonp,,,Robotics数学基础2.4物体的变换及逆变换3.变换方程初步{B}:基坐标系{T}:工具坐标系{S}:工作台坐标系{G}:目标坐标系或工件坐标系满足方程TTTTGTSGBSBTRobotics数学基础习题:P43,题2.3P44,题2.9Robotics数学基础2.5通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转θ角时的旋转矩阵.{S}:物体上固接的坐标系{T}:参考坐标系{C}:Z轴与f重合的辅助坐标系xTYTZTTCSzSf,ZcO),(fRotRobotics数学基础2.5通用旋转变换在{S}上取一点p,其坐标为向量{P},它绕{T}中直线f旋转θ角。1）将{S}上p点坐标变换到{T}中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为，目前上式在{T}无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系{C}，使其Z轴与f重合。这样问题变为绕ZC旋转。将{S}中的点p变换到{C}中，变换为：4）在{C}中绕Z轴旋转有：5）将{C}中坐标变换回{T}中有，}{pTST}{),(pfRotTST}{pTSCTTT}{),(pzRTSCTTT}{),(pzTRTSCTTCTTRobotics数学基础2.5通用旋转变换步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于{C}的Z轴与f重合,所以}{),(}{),(pfRotpzTRTSTSCTTCTTT1),(),(),(TTTCTCCTTCzTRzTRfRot10000001000010000001000000zyxzyxzyxzzzyyyxxxaaaooonnncsscaonaonaonzzyyxxfafafaRobotics数学基础2.5通用旋转变换根据坐标轴的正交性,,有令,则ona1222zyxzyxyxzyxzxzyxzyzyxaaafnoonafnoonafnoonacos1)(vers1000000),(cversffsfversffsfversffsfversffcversffsfversffsfversffsfversffcversfffRotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxRobotics数学基础2.5通用旋转变换2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转θ角的转轴.已知旋转变换R,令R=Rot(f,θ),即有将上式对角线元素相加,并简化得10000001000000cversffsfversffsfversffsfversffcversffsfversffsfversffsfversffcversffaonaonaonzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzzzyyyxxxccversfffaonzyxzyx213)(222)1(21xyxaoncRobotics数学基础2.5通用旋转变换非对角元素成对相减,有平方后有设,sfonsfnasfaozxyyzxxyz22222221)()()(xyzxyzonnaaoso18001)()()(tan222zyxxyzxyzaononnaaosonfsnafsaofxyzzxyyzx2/)(2/)(2/)(Robotics数学基础2.5通用旋转变换例2-7一坐标系{B}与参考系重合,现将其绕通过原点的轴转30°,求转动后的{B}.以,代入算式,有Tf0707.0707.0ozyxfff0.300.0707.010000866.0354.0354.00354.0933.0067.00354.0067.0933.0)30,(okRotRobotics数学基础2.5通用旋