人教版高中数学《空间向量的数量积运算》-公开课教案

§3.1.3空间向量的数量积运算公开课教案教学目标:知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；②运用公式解决立体几何中的有关问题。能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。情感目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。教学重点：空间向量数量积公式及其应用。教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。授课过程：1.引入:”夹角与长度是两个最基本的几何量，而数量积公式是解决这两个问题的主要工具”.现在，请你类比平面向量的数量积公式，归纳出与空间向量的数量积的相关知识，完成下表。1、定义2、性质（常用结论）3、运算律2.新知归纳：（学生分小组自行探索填表，教师总结）OABaabb(1).两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,ab,总可以在空间中任取一点O,,,OAaOBb使从而可知AOBab角为向量与的夹角，,ab记作：,0,ab范围：,,abba＝,,,2ababab特别的:时则称与互相垂直，并记作：注意:,,,OAOBOAOBOAOB而cos,,,cos,ababababababab叫做空间两向量的数量积，记作：即(2)空间向量的数量积的几何意义:cos,.abaababab数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(3)空间向量的数量积的主要性质:设,ab是两个非零向量①0abab数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,abababababab当与同向时当向量与反向时2,aaaaaa特别地或用于计算向量的模③cos,ababab用于计算向量的夹角(4)空间向量数量积满足的运算律①交换律:abba;②对数乘的结合律:()()()ababab③分配律:()abcacbc注意:数量积不满足结合律,即:()()abcabclAOP3.巩固与应用:22222.10,0,0()2),()3)()()4),()5)()abababacbcpqpqkabkabpqpqpq练习1判断下列命题真假：）若则则则22.22,,22,________.ababab已知则所夹的角为4,3,5,90,60,(1),,;(2)(3)例1.已知在平行六面体中,表示求的长;求异面直线与所成角的余弦值.ABCDABCDABADAABADBAADAAABADAAACACACBA[析]：明确应用向量方法解决空间问题的基本方法。练习：课本P92，1、3例2:如图:,POPA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,,llOA,求证:lPA.[析]：法一、传统法法二、向量法D'C'B'DABCA'思考:若将例1命题改为:,POPA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,,llPA,求证:lOA.你能用向量方法证明吗?说明:三垂线定理及其逆定理.5.小结:1.空间向量的数量积运算公式,以及相关的主要性质和运算律.2.利用空间向量的数量积知识,证明了立体几何中的两个定理(即:三垂线定理及线面垂直的判定定理),解决了立体几何中关于长度与夹角的求解问题,了解了立体几何问题代数化的基本思考方法.6.板书设计：7.作业:《作业本》P581~98.教学反思：课题：§3.1.3空间向量的数量积运算1、定义：例12、性质：例23、运算律：图象