隐函数、参数方程表示的函数求导

应用高等数学（06级融资理财1班）主讲：彭如海教授岭南学院江苏科技大学第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数•一、授课时间：2007－4－17－3、4节•二、教学目的要求：在复习巩固上节显函数导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。•三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；•教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。•四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。•五、教学手段：多媒体＋适当板书。继续【2－2】课堂练习•课堂练习：•习题2－2）2（14）求其导数。已知,)ln(sin2xyxxxxxxxy)ln(cos22.1).ln(cos)]).[ln(ln(cos222'22解：复习：导数公式与求导法则•1、基本导数公式•2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则1、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxxarc2、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设注：以上公式与法则是针对显函数而言的。易知函数用解析法表示的方法有：•【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则）•【2】隐函数•【3】用参数方程表示的函数，即•问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx0),(yxf第9讲隐函数及由参数方程所确定的函数的导数•【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数•【2】总结•【3】课堂练习【1】2－3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数第二章导数与微分三、对数微分法一、隐函数的导数定义:.)(0),(称为隐函数所确定的函数由方程xyyyxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1课堂练习1－例2。30设方程x2+y2=R2(R为常数)确定函数y=y(x)，.?ddxy求解将方将程两边求导，可得当y0时，yxxydd或.yxyx例2设方程y+x–exy=0确定了函数y=y(x)，.xy求解方程两边求导，得当1-xexy0时，解得，xyxyxyxyye11edd'即.e11exyxyxxyy0)(10)(10)('''''xyyeyxyeyexyxyxyxy例3求曲线x2+y4=17在x=4处对应于曲线上的点的切线方程.解方程两边求导数，可得).0(2dd3yyxxy即对应于x=4有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点P1(4,1)和P2(4,-1).将x=4代入方程，得y=1.在P1处的切线斜率y|(4,1)=-2，y–1=-2(x-4)即y+2x–9=0在点P2处的切线方程为y+1=2(x-4)，即y-2x+9=0在P2处切线的斜率y|(4,-1)=2.所以，在点P1处的切线方程为【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求导，得.cos1yy时，因为22y≤≤cosy取正号，.1sin1cos22xyy所以.11)(arcsin2xxdxdyycos1二、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx例4设参数方程tbytaxsincos，(椭圆方程)确定了函数y=y(x)，.ddxy求解所以.cotsincosddtabtatbdtdxdtdyxytbdtdytadtdxcossin例5解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即例6设炮弹与地平线成a角，初速为v0射出，如果不计空气阻力，以发射点为原点，地平线为x轴，过原点垂直x轴方向上的直线为y轴(如图).由物理学知道它的运动方程为.21sin,cos200gttvytvxaa求(1)炮弹在时刻t时的速度大小与方向，(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.yOx中弹点解(1)炮弹的水平方向速度为.cosdd0avtxvx炮弹的垂直方向速度为，gtvtyvyasindd0yOx中弹点VxVy所以，在t时炮弹速度的大小为，2202022sin2||tggtvvvvvyxa它的位置是在t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为(2)令y=0，得中弹点所对应的时刻，gvtasin200.2sin200agvxt所以射程.cossindd00aavgtvxy三、对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy上述函数的求导方法－采用对数求导法：先对方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu例7解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设例8解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf课堂练习2解两边取对数，得，)]2ln()1ln()1ln(2[31lnxxxy两边求导，211111231dxdy1xxxy例9设.,)2)(1()1(2yxxxy求3所以.21111231ddxxxyxyy.211112)2)(1()1(3132xxxxxx【2】总结：导数公式与求导法则•1、基本导数公式•2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法(5)隐函数求导法则(6)参变量函数的求导法则1、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxxarc2、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd(6)参变量函数的求导法则【3】课堂练习与课外作业•课堂练习：•习题2－3）1（5）、3、7（3）•课外作业：•习题2－3）1（2）（6）、2、4（1）（4）、7（1）