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概率论与数理统计1概率论与数理统计知识点总结一、随机事件与概率1.随机事件(1)事件间的关系与运算事件的差:ABAABAB对立事件:,AAAA完备事件组:设12,,,,nAAA是有限或可数个事件,如果其满足:①,,,1,2,ijAAijij;②iiA,则称12,,,,nAAA是一个完备事件组.(2)随机事件的运算律求和运算:①ABBA(交换律)②()()ABCABCABC(结合律)求交运算:①ABBA(交换律)②()()ABCABCABC(结合律)求和运算与求交运算的混合:①()()()ABCABAC(第一分配律)②()()()ABCABAC(第二分配律)求对立事件的运算:()AA(自反律)和及交事件的对立事件:①ABAB(第一对偶律)②ABAB(第二对偶律)2.随机事件的概率(1)概率的公理化定义概率论与数理统计2公理1:()1P;公理2:对任意事件A,有()0PA;公理3:对任意可数个两两不相容的事件12,,,,nAAA,有11()()iiiiPAPA.(2)概率测度的其他性质性质1:()0P性质2(有限可加性):12,,,nAAA是两两互不相容的,则有11()()nniiiiPAPA性质3:()1()PAPA性质4:()()()PABPAPAB特别地,若AB,则①()()()PABPAPB;②()()PAPB性质5:0()1PA性质6:()()()()PABPAPBPAB推论:()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC3.古典概型与几何概型(1)古典概型古典概型的概率测度:()==AAPA中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数(2)几何概型几何概型的概率测度:()()()SAPAS4.条件概率(1)条件概率的数学定义()()(()0)()PABPBAPAPA概率论与数理统计3()1()PBAPBA()1()PBAPBA条件概率测度满足概率的三条公理:公理1:()1PA;公理2:对任意事件B,有()0PBA;公理3:对任意可数个两两不相容的事件12,,,,nAAA,有11()()iiiiPAAPAA.(2)乘法公式()()(),()0PABPAPBAPA()()(),()0PABPBPABPB()()()()PABCPAPBAPCAB12121312121()()()()()nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA(3)全概率公式设{}iA是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件,且iiA,则对任意事件B,有()()()iiiPBPAPBA.(4)贝叶斯公式设{}iA是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件,且1iiA,则对任意事件B,()0PB,有()()()()()()()iiiijjjPAPBAPABPABPBPAPBA.5.事件的独立性(1)两个事件的独立性()()()PABPAPB(2)有限个事件的独立性概率论与数理统计4两两独立:()()()ijijPAAPAPA相互独立:1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA(3)相互独立性的性质性质1:如果n个事件12,,,nAAA相互独立,则将其中任何(1)mmn个事件改为相应的对立事件,形成的新的n个事件仍然相互独立.性质2:如果n个事件12,,,nAAA相互独立,则有1111()1(1())nnniiiiiiPAPAPA(4)伯努利概型伯努利定理:在一次试验中,事件A发生的概率为(01)pp,则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为:(;,)Ckknknbknppq,其中1qp.在伯努利试验序列中,设每次试验中事件A发生的概率为p,“事件A在第k次试验中才首次发生”(1)k,这一事件的概率为1(,)kgkpqp.二、随机变量的分布与数字特征1.随机变量及其分布(1)离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布满足性质:①()0,1,2,ipxi②()1iipx一旦知道一个离散型随机变量X的概率分布{}ipx(),便可求得X所生成的任何事件的概率.特别地,对任意ab,有{}({}){}()iiiiiiaxbaxbaxbPaXbPXxPXxpx.一般地,若I是一个区间,则{}=()iixIPXIpx.(2)分布函数概率论与数理统计5随机变量的分布函数性质:①单调性,若12xx,则12()()FxFx;②()lim()0xFFx,()lim()1xFFx;③右连续性,(0)()FxFx.(3)连续型随机变量及其概率密度(){}()xFxPXxftdt,()fx为X的概率密度函数.密度函数性质:①()0,(,)fxx;②()1fxdx.{}()()()baPaXbFbFafxdx{}0PXx(连续型)'()()Fxfx2.随机变量的数字特征(1)离散型随机变量的数学期望1=iiiEXxp(2)连续型随机变量的数学期望()EXxfxdx(3)随机变量函数的数学期望设X是一个随机变量,()gx是一个实函数.①若X为离散型随机变量,概率分布为{},1,2,iiPXxpi.且1()iiigxp,则()EgX存在,且概率论与数理统计61()()iiiEgXgxp.②若X为连续型随机变量,fx是其密度函数,且()()gxfxdx,则()EgX存在,且()()()EgXgxfxdx.(4)数学期望的性质①对任意常数a,有Eaa;②设12,为任意实数,12(),()gxgx为任意实函数,如果12(),()EgXEgX均存在,则11221122[()()]()()EgXgXEgXEgX;③如果EX存在,则对任意实数a,有()EXaEXa.(5)随机变量的方差离差:XEX方差:2()DXEXEX标准差:DX①若X为离散型随机变量,其概率分布为{},1,2,iiPXxpi,则22()()iiiDXEXEXxEXp②若X为连续型随机变量,fx为其密度函数,则22()()()DXEXEXxEXfxdx③22()DXEXEX方差的基本性质:设X的方差DX存在,a为任意常数,则①0Da;②()DXaDX;③2()DaXaDX.(6)随机变量的矩与切比雪夫不等式矩定义:X为一个随机变量,k为正整数,如果kEX存在(即kEX),则称kEX为X概率论与数理统计7的k阶原点矩,称kEX为X的k阶绝对矩.定理:随机变量X的t阶矩存在,则其s阶矩(st为正整数)也存在.推论:设k为正整数,C为常数,如果kEX存在,则()kEXC存在,特别地,)kEXEX(存在.中心矩定义:X为一个随机变量,k为正整数,如果kEX存在,则称()kEXEX为X的k阶中心矩,称kEXEX为X的k阶绝对中心矩.定理:设()hx是x的一个非负函数,X是一个随机变量,且()EhX存在,则对任意0,有(){()}EhXPhX.推论1(马尔可夫不等式):设X的k阶矩存在(k为正整数),即kEX,则对任意0有{}kkEXPX.推论2(切比雪夫不等式):设X的方差存在,则对任意0有2{}DXPXEX.推论3:随机变量X的方差为0当且仅当存在一个常数a,使得{}=1PXa.3.常用的离散型分布离散型分布概率分布期望(EX)方差(DX)退化分布1PXaEXa0DX两点分布12,1,PXxpPXxp01p12(1)EXpxpx212(1)()DXppxx0-1分布:特别地,如果X服从11x,EXp(1)DXpp概率论与数理统计820x处的参数为p两点分布.即{1}PXp,{0}1PXp,01p.n个点上的均匀分布1{}=,1,2,,iPXxinnEXx211()niiDXxxn二项分布C(1),kknknPXkpp0,1,2,,knEXnpDXnpq几何分布def1{}(,),1kPXkqpgkpk1EXp2qDXp几何分布的无记忆性:设X服从几何分布,则对任意两个正整数,mn,有{}{}PXmnXmPXn.超几何分布12CC{},0CknkNNnNPXkkn1NEXnN121NNNnDXnNNN泊松分布{}e,0,1,2,!kPXkkk0为参数EXDX二项分布可作为超几何分布的近似,即1212CCCknkknkNNknnNNNCNN.这一近似关系的严格数学表述是:当N时,1N,2N,且1NpN,21NpN,则对任意给定的n和k,有12CClim1CknknkNNkknnNNCpp.概率论与数理统计9泊松定理:在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为np(注意这与试验的次数n有关),如果n时,nnp(0为常数),则对任意给定的k,有lim(;,)e!knnbknpk.当二项分布(,)bnp的参数n很大,而p很小时,可以将它用参数为np的泊松分布来近似,即有()(;,)e!knpnpbknpk.4.常用的连续型分布连续型分布密度函数分布函数期望(EX)方差(DX)均匀分布1,()0,axbfxba其他记作~[,]XUab0,(),1,xaxaFxaxbbaxb2abEX2()12baDX指数分布e,0()0,0xxfxx记作~e()X1e,0()0,0xxFxx1EX21DX指数分布的无记忆性:非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是:对任意实数r和s,有{}{}PXrsXsPXr.正态分布22()21()e,2xxx记作2~(,)XN22()21()e2txxdtEX2DX标准正态分布概率论与数理统计102201()e2xx记作~(0,1)XN标准正态分布表性质:00()()xx00()1()xx00()()1xx0EX1DX正态分布定理:设2~(,),,,XNYaXbab为常数,且0a,则22~(,)YNaba.推论1:如果2~(,)XN,则~(0,1)XN.通常称为X的标准化.推论2:2~(,)XN的充要条件是存在一个随机变量~(0,1)N,使得X.推论3:设2~(,),(),()XNxx分别为其分布函数与密度函数,00(),()xx是标准正态分布的分布函数和密度函数,则有00()(),1()().xxxx一般正态分布的概率计算:【例】已知2~(,)XN,求()a.解0(){}{}{}()XaXaPXaPPbb5.随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的概率分布的一般方法:先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值,然后对Y的每一个可能取值(1,2,)iyi确定相应的{()}ijjiCxgxy,则有{}{()}{},{}{}{},jiiiii
本文标题:概率论与数理统计知识点总结
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