探索勾股定理讲义

地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：龙文教育一对一讲义教师：魏敏学生：日期：星期时段：课题探索勾股定理学习目标与分析（1）、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程。（2）、运用勾股定理解决实际问题。（3）、了解有关勾股定理的历史.学习重点重点：勾股定理及其应用难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育学习方法以学生为主体的讨论探索法学习内容与过程教师分析与批改创设情境：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案.它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们.（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？会徽这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.观察特例毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系.（1）观察下图中的地面，看看能发现些什么？地面图18.1-1（2）找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.由正方形的面积等于边长的平方归纳出:_________________________________深入探究（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？图18.1-2ABC图1地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形.（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？（3）正方形A、B、C面积之间的关系是什么？（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，在△ABC，∠C=90°。∴a2+b2=c2（AC2+BC2=AB2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．拼图验证（弦图验证）（1）观察赵爽弦图，思考：如何利用此图的面积表示式验证勾股定理？赵爽弦图（拼图验证）（2）仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体正方形，拼成一个新的正方形？图18.1-3（1）图18.1-3（2）图18.1-3（3）abcCAbabbaabacMNP直角三角形三边关系A、B、C面积关系图2图1C的面积(单位面积)B的面积(单位面积)A的面积(单位面积)直角三角形三边关系A、B、C面积关系图2图1C的面积(单位面积)B的面积(单位面积)A的面积(单位面积)BbabaCbabaC地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：拼图的关键是：构造以a、b为直角边的直角三角形.（3）怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？（定理命名）结合本节内容给出定理的概念.向学生对比介绍古今中外对勾股定理的研究成果，指出我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”.把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.将此定理命名为勾股定理.二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。实践应用→拓展提高1.求出下列直角三角形中未知边的长度.2.试一试：剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形.大正方形的面积可以表示为________________________,又可以表示为____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.3.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？图1图2AB815CB10CA6地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。3.如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示,求两孔中心A,B之间的距离.(单位:毫米)4.以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？算一算地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度勾股定理的”总统证法”在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。美国总统证法：例：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？地址：北京市朝阳区和平西桥首钢实业和平里大厦1层电话：400-819-5858网址：、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积补充练习：1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（）A、600米；B、800米；C、1000米；D、不能确定2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）A、6厘米；B、8厘米；C、80/13厘米；D、60/13厘米课堂练习：3、在ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.4、在ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.5、一轮船以16海里/小时的速度离A港向东北方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的速度离A港向西北方向航行，2小时后，两船相距多少海里？6、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积7、如图在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。