2021版新高考数学：高考中的数列问题含答案

1/42021版新高考数学：高考中的数列问题含答案编辑：__________________时间：__________________教学资料范本2/4(对应学生用书第113页)[命题解读]从近五年全国卷高考试题来看、数列解答题常以an、Sn的关系为切入点、以等差(等比)数列基础知识为依托、重点考查等差(等比)数列的判定与证明、考查数列的通项及前n项和的求法(以分组求和、裂项求和为主)、考查函数与方程的思想及逻辑推理、数学运算的核心素养、且难度有所提升．[典例示范](本题满分12分)(20xx·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和、且a1＝1、S7＝28①.记bn＝[lgan]②、其中[x]表示不超过x的最大整数、如[0.9]＝0、[lg99]＝1.(1)求b1、b11、b101；(2)求数列{bn}的前1000项和③.[信息提取]看到①想到等差数列的求和公式；看到②想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；看到③想到数列的常见求和方法．[规范解答](1)设{an}的公差为d、S7＝7a4＝28、所以a4＝4、····························································2分所以d＝a4－a13＝1、··················································4分所以an＝a1＋(n－1)d＝n.···········································5分所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0、b11＝[lga11]＝[lg11]＝1、b101＝[lga101]＝[lg101]＝2.············································································6分(2)记{bn}的前n项和为Tn、则T1000＝b1＋b2＋…＋b1000＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1000]、当0≤lgan＜1时、n＝1、2、…、9；··························7分当1≤lgan＜2时、n＝10、11、…、99；······················9分当2≤lgan＜3时n＝100、101、…、999；···················11分3/4当lgan＝3时、n＝1000、所以T1000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1893.··········12分[易错防范]易错点防范措施对[lgan]认识错误先结合题设条件理解[x]、再结合对数的运算性质求出b1、b11、b101找不出[lgan]的规律求不出{bn}的前1000项的和结合(1)的结论、合情推理推出[lgan]的规律、并分类求出bn、最后利用分组求和求{bn}的前1000项和[通性通法](1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1、d(或q)、n、an、Sn、“知三求二”是等差(等比)的基本题型、通过解方程(组)的方法达到解题的目的．(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等．[规范特训](20xx·天津二模)已知数列{an}满足a1＝2、(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)、设bn＝ann＋1.(1)证明数列{bn}是等差数列；(2)设cnbn＝2n＋1、求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*).[解](1)因为a1＝2、所以b1＝a11＋1＝1.将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：ann＋1＝an＋1n＋2－2、∴an＋1n＋2－ann＋1＝2、即bn＋1－bn＝2.∴数列{bn}是以1为首项、2为公差的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.∵cnbn＝2n＋1、∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n、2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1、两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋4/42×22（1－2n－1）1－2－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n（1＋2n－1）2＝n2、∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.