高中数学圆的方程典型例题

第1页高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1111求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2222求半径为4，与圆042422=−−−+yxyx相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3333求经过点)5,0(A，且与直线02=−yx和02=+yx都相切的圆的方程．例4444、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=−yxl：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5555已知圆422=+yxO：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6666两圆0111221=++++FyExDyxC：与0222222=++++FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7777、过圆122=+yx外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1111．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy−+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++−+yxyx相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ayx与圆0222=+−yxx相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=−−yxl被圆042:22=−−+yxyxC截得的弦AB的长.例9、直线0323=−+yx截圆422=+yx得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=−+−+yxyx和522=+yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=−+yx和圆422=+yx，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线mxy+=与曲线24xy−=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13131313圆9)3()3(22=−+−yx上到直线01143=−+yx的距离为1的点有几个？第2页练习1：直线1=+yx与圆)0(0222=−+aayyx没有公共点，则a的取值范围是2：若直线2+=kxy与圆1)3()2(22=−+−yx有两个不同的交点，则k的取值范围是.3：圆034222=−+++yxyx上到直线01=++yx的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4444：过点()43−−，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++−yxC：有公共点类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系例14、判断圆02662:221=−−++yxyxC与圆0424:222=++−+yxyxC的位置关系，例15：圆0222=−+xyx和圆0422=++yyx的公切线共有条。练习1：若圆042222=−+−+mmxyx与圆08442222=−+−++mmyxyx相切，则实数m的取值集合是.2：求与圆522=+yx外切于点)2,1(−P，且半径为52的圆的方程.类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题例16、圆222690xyxy+−−+=关于直线250xy++=对称的圆的方程是类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题例17：圆0104422=−−−+yxyx上的点到直线014=−+yx的最大距离与最小距离的差是例11118888(1)已知圆1)4()3(221=−+−yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd+=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++yxO：，),(yxP为圆上任一点．求12−−xy的最大、最小值，求yx2−的最大、最小值．例19：已知)0,2(−A，)0,2(B，点P在圆4)4()3(22=−+−yx上运动，则22PBPA+的最小值是.练习：1：已知点),(yxP在圆1)1(22=−+yx上运动.（1）求21−−xy的最大值与最小值；（2）求yx+2的最大值与最小值.第3页解：（1）设kxy=−−21，则k表示点),(yxP与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值.由1122=+kk，解得33±=k，∴21−−xy的最大值为33，最小值为33−.（2）设myx=+2，则m表示直线myx=+2在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由151=−m，解得51±=m，∴yx+2的最大值为51+，最小值为51−.2222设点),(yxP是圆122=+yx是任一点，求12+−=xyu的取值范围．分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决．解法一：设圆122=+yx上任一点)sin,(cosθθP则有θcos=x，θsin=y)2,0[πθ∈∴1cos2sin+−=θθu，∴2sincos−=+θθuu∴)2(sincos+−=−uuθθ．即2)sin(12+=−+uuϕθ（u=ϕtan）∴1)2()sin(2++=−uuϕθ．又∵1)sin(≤−ϕθ∴1122≤++uu解之得：43−≤u．分析二：12+−=xyu的几何意义是过圆122=+yx上一动点和定点)2,1(−的连线的斜率，利用此直线与圆122=+yx有公共点，可确定出u的取值范围．解法二：由12+−=xyu得：)1(2+=−xuy，此直线与圆122=+yx有公共点，故点)0,0(到直线的距离1≤d．∴1122≤++uu解得：43−≤u．另外，直线)1(2+=−xuy与圆122=+yx的公共点还可以这样来处理：第4页由⎩⎨⎧=++=−1)1(222yxxuy消去y后得：0)34()42()1(2222=++++++uuxuuxu，此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222≥+++−+=∆uuuuu，解之得：43−≤u．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(−−−−CBA，点P在圆422=+yx上运动，求222PCPBPA++的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M与两个定点)0,0(O，)0,3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程.例22、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆4)1(22=++yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.例23232323如图所示，已知圆422=+yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2=y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC∆垂心H的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx,的关系非常难．由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系．解：设),(yxH，),(''yxC，连结AH，CH，则BCAH⊥，ABCH⊥，BC是切线BCOC⊥，所以AHOC//，OACH//，OCOA=，所以四边形AOCH是菱形．所以2==OACH，得⎪⎩⎪⎨⎧=−=.,2''xxyy第5页又),(''yxC满足42'2'=+yx，所以)0(4)2(22≠=−+xyx即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．例24242424已知圆的方程为222ryx=+，圆内有定点),(baP，圆周上有两个动点A、B，使PBPA⊥，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然ABOM⊥，PQAB=，在直角三角形AOM中，若设),(yxQ，则)2,2(byaxM++．由222OAAMOM=+，即22222])()[(41)2()2(rbyaxbyax=−+−++++，也即)(222222baryx+−=+，这便是Q的轨迹方程．解法二：设),(yxQ、),(11yxA、),(22yxB，则22121ryx=+，22222ryx=+．又22ABPQ=，即)(22)()()()(2121222122122yyxxryyxxbyax+−=−+−=−+−．①又AB与PQ的中点重合，故21xxax+=+，21yyby+=+，即)(22)()(2121222yyxxrbyax++=+++②①＋②，有)(222222baryx+−=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin,cos(ααrrA、)sin,cos(ββrrB、),(yxQ，第6页由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有βαcoscosrrax+=+，①βαsinsinrrby+=+，②又由PBPA⊥有1cossincossin−=−−⋅−−arbrarbrββαα③联立①、②、③消去α、β，即可得Q点的轨迹方程为)(222222baryx+−=+．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x、2x、1y、2y四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222ryx=+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点P向圆122=+yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB∠=600，则动点P的轨迹方程是.解：设),(yxP.∵APB∠=600，∴OPA∠=300.∵APOA⊥，∴22==OAOP，∴222=+yx，化简得422=+yx，∴动点P的轨迹方程是422=+yx.练习巩固：设)0)(0,(),0,(−ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值)0(aa，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为),(yxP.由)0(=aaPBPA，得aycxycx=+−++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=−+++−+−acxacyaxa.当1≠a时，化简得01)1(222222=+−+++cxaacyx，整理得222222)12()11(−=+−+−aacycaax；当1=a时，化简得0=x.第7页所以当1≠a时，P点的轨迹是以)0,11(22caa−+为圆心，122−aac为半径的圆；当1=a时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点)0,2(−A，)0,1(B，如果动点P满足PBPA2=，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是),(yx.由PBPA2=，得2222)1(2)2(yxyx+−=++，化简得4)2(22=+−yx，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.4、已知定点)0,3(B，点A在圆122=+yx上运动，M是线段AB上的一点，且MBAM31=，问点M的轨迹是什么？解：设),(),,(11yxAyxM.∵MBAM31=，∴),3(31),(11yxyyxx−−=−−，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−−=−yyyxxx31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=yyxx3413411.∵点A在圆122=+yx上运动，∴12121=+yx，∴1)34()134(22=+−yx，即169)43(22=+−yx，∴点M的轨迹方程是169)43(22=+−yx.例5、已知定点)0,3(B，点A在圆122=+yx上运动，AOB∠的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.解：设),(),,(11yxAyxM.∵OM是AOB∠的平分线，∴31==OBOAMBAM，∴MBAM31=.由变式1可得点M的轨迹方程是169)43(22=+−yx.练习巩固：已知直线1+=kxy与圆422=+yx相交于A、B两点，以OA、O