对数函数的性质及其应用

第四章指数函数与对数函数课标A版·数学·必修第一册指数函数与对数函数第四章第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册4.4对数函数第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册第2课时对数函数的性质及其应用第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册课前自主预习第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册1．掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法．2．会解简单的对数不等式．3．掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法．4．了解反函数的概念及它们的图象特点．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册1．对数函数值的符号规律(1)a1时，当x1时，_______；当0x1时，______.(2)0a1时，当0x1时，_____；当x1时，______.可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.y0y0y0y0第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册2．对称关系(1)函数y＝与y＝logax的图象关于_________对称．(2)函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线_______对称．3．反函数指数函数________________________和对数函数__________________________互为反函数．x轴y＝xy＝ax(a0，且a≠1)y＝logax(a0，且a≠1)第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册1．函数y＝ax与y＝logax中，它们的定义域、值域、单调性有何关系？[答案]指数函数y＝ax的定义域R是函数y＝logax的值域，函数y＝ax的值域是函数y＝logax的定义域，且a1时，y＝ax与y＝logax均为增函数，0a1时均为减函数第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log0.2x的图象与函数y＝－log0.2x的图象关于y轴对称．()(2)若0a1，b1，则logab0.()(3)函数y＝log3x与y＝3x互为反函数．()(4)若logaxlogbx，则ab.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册课堂互动探究第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册题型一比较对数值的大小【典例1】比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a0，且a≠1)．[思路导引]利用对数单调性比较大小．[解](1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.32，所以ln0.3ln2.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册(2)解法一：因为0log0.23log0.24，所以1log0.231log0.24，即log30.2log40.2.解法二：如图所示，由图可知log40.2log30.2.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册(3)因为函数y＝log3x是增函数，且π3，所以log3πlog33＝1.因为函数y＝logπx是增函数，且π3，所以logπ3logππ＝1.所以log3πlogπ3.(4)当a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)．(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[针对训练]1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8；(2)log0.56，log0.54；[解](1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且68，所以lg6lg8.(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且64，所以log0.56log0.54.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册(4)取中间值1，∵log23log22＝1＝log55log54，∴log23log54.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册题型二求解对数不等式【典例2】(1)已知loga121，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由loga121得loga12logaa.①当a1时，有a12，此时无解．②当0a1时，有12a，从而12a1.∴a的取值范围是12，1.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72xlog0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册常见对数不等式的2种解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[针对训练]2．不等式log2(2x＋3)log2(5x－6)的解集为()A．(－∞，3)B.－32，3C.－32，65D.65，3第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[解析]由2x＋30，5x－60，2x＋35x－6，得65x3.[答案]D第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册3．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．[解]由题意知loga(3a－1)0＝loga1.当a1时，y＝logax是增函数，∴3a－11，3a－10，解得a23，∴a1；当0a1时，y＝logax是减函数，第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册∴3a－11，3a－10，解得13a23.∴13a23.综上所述，a的取值范围是13，23∪(1，＋∞).第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册题型三形如y＝logaf(x)的函数的单调性【典例3】求函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间．[思路导引]先求定义域，再根据复合函数的单调性求解．[解]因为x2－3x＋20，所以x1或x2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，则y＝log0.7t，显然y＝log0.7t在(0，＋∞)上是单调递减的，而t＝x2－3x＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册求对数型函数单调区间的方法(1)求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定y＝logaf(x)的单调性．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[针对训练]4．求函数y＝(1－x2)的单调区间．[解]要使y＝(1－x2)有意义，则1－x20，∴x21，则－1x1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝t减小，∴x∈(－1,0]时，y＝(1－x2)是减函数；当x∈[0,1)时，y＝(1－x2)是增函数．故函数y＝(1－x2)的单调增区间为[0,1)，函数的单调递减区间为(－1,0].第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册题型四与对数函数有关的值域问题【典例4】求下列函数的值域：(1)y＝log2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log2(－x2－4x＋12)．[思路导引]求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解．[解](1)因为|x|＋4≥4，所以log2(|x|＋4)≥log24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．(2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以0－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，函数的值域为(－∞，4]．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[变式]若本例(2)函数改为“f(x)＝－3x，x∈[2,4]”，如何求解？第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[解]令t＝x，则y＝t2－3t＝t－322－94，∵2≤x≤4，即－2≤t≤－1.可知y＝t－322－94在[－2，－1]上单调递减．∴当t＝－2时，y取最大值为10；当t＝－1时，y取最小值为4.∴原函数的值域为[4,10]．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册对数型函数值域的求解技巧(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)形如y＝logaf(x)，y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册[针对训练]5．求函数y＝log13(－x2＋4x－3)的值域．[解]由－x2＋4x－30，解得1x3，∴函数的定义域是(1,3)．设u＝－x2＋4x－3(1x3)，则u＝－(x－2)2＋1.∵1x3，∴0u≤1，则y≥0，即函数的值域是[0，＋∞)．第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册6．求函数y＝log2(2x)·log2x12≤x≤2的最大值和最小值．[解]y＝log2(2x)·log2x＝(1＋log2x)·log2x＝log2x＋122－14.∵12≤x≤2，即－1≤log2x≤1，∴当log2x＝－12时，ymin＝－14；当log2x＝1时，ymax＝2.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册课堂归纳小结1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1和0a1两类进行讨论.2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.第四章4.4第2课时课标A版·数学·必修第一册请做：随堂巩固验收