核电子学参考资料拉普拉斯变换在电路分析中的应用

重提基本结构一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路）两类约束→VCR+KCL、KVL三大基本方法---模型的类比(第三篇)模型的化简3.变换域方法1.叠加方法2.分解方法第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用变换与类比变换变换为动态电路的时域模型→适用于正弦稳态分析→适用于线性时不变电路的一般分析类比①相量模型1②s域模型2模型变换的数学理论基础:欧拉恒等式拉普拉斯变换21、两种模型均与电阻模型作类比，从而得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时域响应。2112-1供教师参考的意见习题课§1基本概念§2s域模型§3反变换—赫维赛德展开定理§4网络函数与叠加方法本章分为12-2§1基本概念(1)变换方法的基本步骤(a)变换如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)(b)在变换域运算如相量法中对相量进行复数运算(c)反变换回归到时域(2)拉氏变换方法的三个步骤(c)反变换回归到时域(方法的难点所在)(a)变换把函数f(t)→F(s)(拉氏变换)(b)在s域中运算(利用s域模型)(3)拉氏变换12-300)(ttfssesdtedtettststst1)10(11)()]([L|000st1)(即mm)cos(ItI如同js其中s为复变数(复频率)f(t)则假定具有下列性质)()(])t(L[0sFdtetffst定义式例题12-4(4)数学家已表明拉氏变换可用来简化线性常系数常微分方程的求解。数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册，供查阅，如同查对数表。如0)(ttf)(sFs1)(tsAAte)(1stcos22ss12-5§2s域模型使用相量法，可不必从列电路微分方程做起，根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s)、导纳Y(s)。12-6(1)两类约束的s域表达式(a)拉氏变换的线性性质)()()]()([L22112211sFsFtftf由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：)()]([LsIti若0)(ti则其s域形式为0)(])([LsIti类似地，KVL的s域形式为0)(sU提问：的s域形式？)()(tRitu12-7(b)拉氏变换的积分性质)(1)(L)(F)](f[L0sFsdfstt，则若由此可得电容、电感VCR的s域形式。电容VCR的s域形式diCutut0)(1)0()()()0()()0(])(1[L)](0L[)](L[0sIsusIsudiCutut－sC11)(sZCsCsZC1)(电容的广义阻抗iiiiiiii==+-u+-u(0)-C==+-U+-u(0)-CI(s)ss1(s)提问：△若，s域模型如何？△与相量模型区别何在？0)0(u时域模型s域模型12-8(b)拉氏变换的积分性质)(1)(L)(F)](f[L0sFsdfstt，则若由此可得电容、电感VCR的s域形式。电感VCR的s域形式duLitit0)(1)0()()()0()()0()](L[sUsisUsitisL11)(1sZLsLsZL)(电感的广义阻抗提问：△若，s域模型如何？0)0(i时域模型s域模型+-ui(0)-Li+-i(0)-LI(s)U(s)ss12-9求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。=7Ω1Ω2H801F=7Ω　1Ω2j80ωΩjΩω解答解答=7Ω　1Ω80ΩΩ2ss练习12-10(2)例题i(t)--------++++++++10Ω10Ω5Hus=40V开关在t=0时闭合，求i(t)、，用s域分析法。0t解(a)求40V直流激励的拉氏变换。su40]40[L]L[S初始条件：A2A101040)0(Li(b)作s域模型，得)2()4(21051040)(ssssssII(s)--------++++++++1040s++++++++--------10注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：s域模型中未考虑初始电流源！siL2)]0(L[5sI(s)--------++++++++10105S40ss212-11(c)反变换——比较系数法为利用拉氏变换表反查，先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。2)2()4(2)(21sKsKssssI)4(2)()2(21ssKsK822)(121sKsKK2421KK得比较系数后得A)()24()(2tetit反查拉氏变换表当部分分式多于2项时，使用比较系数法不方便！224)(sssI∴teA)(tf)(sFsAs112-12§3反变换——赫维赛德展开定理2)2()4(2)(21sKsKssssI：求1K||02102282ssssKKss41K(1)上例也可解答如下2282)(2ssKsssIs1K：求2KssKsssI)2(82)(1)2(s2K22K与比较系数法所得结果相同。此处系根据赫维赛德定理所提供的方法求解。2212||)2(82KssKssss12-13对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为)()()(sBsAsF即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需结果。为此需对B(s)进行因式分解。(2)对线性时不变电路情况12-14(a)B(s)=0为不等根情况。、求0)(ttf，)34)(2(5)(2sssssF已知例题解321)3)(2)(1(5)(321sKsKsKsssssF5.2)3)(2(5)()1(||111ssssssIsK10)()2(|22ssIsK5.7)()3(|33ssIsK35.721015.2)(ssssI)()5.7105.2()(32teeetftttB(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。te)(tf)(sFs1)3)(2)(1()(ssssB12-15(b)B(s)=0含有重根情况例题。已知441)(2ssssF212112)2(2)2(1)(sKsKsssF1)1()()2(||22212ssssFsK1)1()]()2[(||22211sssdsdsFsdsdK2)2(121)(sssF)()()(22tteetfttF(s)→f(t)，解tnent!)(tf)(sF1)(1ns12-16(c)F(s)为假分式情况例题F(s)→f(t)，。已知：412)(sssF492)(ssF)(9)(2)(4tettft本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做。解te)(t)(tf)(sF1s112-17§4网络函数与叠加方法回顾(1))()(tKxtyXHXHY(b)相量模型的网络函数HH)j((§10-3)(c)共同的特点单一激励下定义。与叠加方法相结合。(§3-1)(a)电阻模型的网络函数H=K12-18(2)s域模型的网络函数H(s)][)(激励零状态响应LLsH][单一激励下，网络函数的定义即)()()(sXsYsH][][激励响应LL零状态①12-19(3)三个例题(a)求图所示电路的网络函数。)()(sIsU=--++--u(t)++Rci(t)=--++--U(s)++RcI(s)s1解作零初始状态s域模型。111)()()()(sRCRsCRsCRsZsIsUsH求网络函数，必须明确：何者为响应，何者为激励。12-20解(b)接续上题，若，试求u(t)、即冲激响应h(t)。)()(tti][)(激励零状态响应LLsH][)()]([)()]([sHtsHthLL)()]([sHthL另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，引起电容电压由零到V的跃变。C1注意：由本例可知网络函数的另两个性质：②网络函数的极点是网络的固有频率te)(t)(tf)(sF1s1)(1]1[]1[)]([)(111teCsCsRCRsHthtLLLRCRC1②①③12-21(c)求图所示电路i(t）、。0t。已知V)3sin(40)(ttutetsin)(tf)(sF22ss122223120)33(40)]3sin(40[)(sstsUL)()()(sHsUsI作s域模型解i(t)--------++++++++8Ω2Hu(t)t=0I(s)--------++++++++82sU(s)1)()(sYsHs28)3j)(3j)(4(602813120)(22ssssssI12-22)3j)(3j)(4(602813120)(22ssssssI]3j3j4[)]([)(*22111sKsKsKsItiLL127212724.2*221KKK)()()()()()()(sDsNsQsPsHsUsI解得本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦稳态响应。LR41可得来自电路的极点s=-4，固有频率，即时间常数3jj可得来自激励的极点s=A)()]1273cos(44.2[224.2)()1273()1273(tteeeetittjtjt440)(ssD40)(22ssQ312-23(4)非零初始状态时的处理——叠加方法当时，s域模型中含初始状态等效电源，它们所产生的零输入响应可单独算出，与零状态响应构成全响应。0)0(0)0(CLui、例题接续上例，设，试求A2)0(i。、0)(ttiI(s)--------++++++++82sU(s)s2作s域模型。求初始电流源的零输入响应，s2U(s)处短路，由分流关系得422842822)(ssssssI()括号部分可视为网络函数(转移电流比)的扩展(初始状态作为一种激励))(2)(4tetit上例得零状态响应)()]1273cos(44.2[)(4ttetitA)()]1273cos(44.4[)(4tteiitit解习题课习题1答案12-24，323)()()(sssIsUsH已知某电路的网络函数激励i(t)为单位阶跃电流，则阶跃响应u(t)在t=0时之值为单位均为V21(a)1(b)23(c)(d)0选()习题1答案12-25解答232113231323)()(ssssssssIsUV)()211()(23tetutV21)0(u选(b)习题课习题212-26答案试求图所示电路的s域戴维南等效电路，已知。V1)0(Cu--------++++++++0.5Ωu(t)s=0.5F习题2答案12-27解答U1s--------++++++++--------++++++++0.5(s)s=s2--------++++++++U(s)OC元件Zo(s)41)(425.05.0125.02)()(ssUsssssUsUSSOC42221)2)(2