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一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx第五节高阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二、高阶导数求法举例例1).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.21.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0例3.),1ln()(nyxy求设解注意:xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求n阶导数时,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4.,sin)(nyxy求设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得2.n阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu莱布尼兹公式例5.,)20(22yexyx求设解则由莱布尼兹公式知设,,22xveux0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex常用高阶导数公式nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1()1(nnnxnx1、隐函数的导数定义:.)(0),(,,,0),(xfyyxFyxyxF函数该区间内确定了一个隐在那么就说方程的值存在唯一的相应地总有满足这方程间内的任意值时取某区当中设在方程.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?第六节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率例11).,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解:求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2)设y=y(x)由方程ey=xef(y)确定,f二阶可导,f1,求y.解方程两边对x求导:eyy=ef(y)+xef(y)f(y)y故)()()(yfxeeeyyfyyf)](1[1yfx22)](1[)()](1[yfxyyfxyfy332)](1[)()](1[yfxyfxyfx例2.,)23,23(,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.2、对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu例3解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设例4解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf3、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即例5解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即例6解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4
本文标题:高阶导数的定义
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