直角三角形边角关系(精)经典难题复习巩固

努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团1DSE金牌数学专题系列经典专题系列直角三角形边角关系一、导入二、知识点回顾（一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：∠A的正弦=AasinA=c∠的对边，即斜边；（2）余弦的定义：∠A的余弦=AbcosA=c∠的邻边，即斜边,（3）正切的定义：∠A的正切=Aatan=Ab∠的对边，即∠的邻边这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系2、坡角与坡度:①坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），用字母i表示，即i=hl，坡面与水平夹角α叫坡角，即坡度等于坡角的正切（tanα=i）。②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡3、锐角三角函数关系：(1)互为余角的三角函数关系．若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.即：sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinAtan（90○－A）=cotAcot（90○－A）=tanA(2)同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l②倒数关系：tanA×cotA=1③商数关系：sincostan,cotcossinAAAAAA4、特殊角的三角函数：00300450600sinA0212222cosA1222221tanA033135.三角函数的大小比较(1)同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。(2)异名三角函数的大小比较①tanA＞SinA，由定义，知tanA=ab，sinA=ac；因为b＜c，所以tanA＞sinA②cotA＞cosA．由定义，知cosA=bc，cotA=ba；因为a＜c，所以cotA＞cosA．努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团2③若0○＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA三、专题讲解【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=512，且AC=24，求：（1）BC和AB的长，（2）SinA和cosA的值1、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA=513，且AC=26，求：（1）BC和AB的长，（2）SinA和cosA的值2、在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一点，如果tan∠ADC=43，tanB=12且BD=5，求AD：【例2】如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝．要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：1.5．已知坝顶宽不变．（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？（2）要在规定时间内完成此项工程．如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成．现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成．求原来规定多少天完成和每天完成的土方数？努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团31、已知拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC,AB=DC,AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度。2、如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45º，斜坡CD的坡比为i＝1：2，则坝底宽BC为多少米？【例3】计算(1)3cos30°+2sin45°；(2)sin60cos60tan45－·tan30°；(3)(sin60°+cos45°)(sin60°－cos45°)；1、设x=(12)-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求3322x-8x+8-x-4x-4x+4（）÷322x-6x+9x-x-6x的值．2、-212（）+23-2.（sin21°13′-tan21°）0-sin30-2cos30cos60四、巩固练习：努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团4（1）填空1、有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是35米，则原树高是___m.解析：如图，在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=35,∴AB==10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.答案：152.如图28－2－2－２，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt△ABD中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sinCD,AD=33560tanCD.答案:33103353、有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:12（2）选择1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为()A.3B.4C.5D.6解析：AC=BC·tanB=6.答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=53，则BD的长是()图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.在Rt△ADC中，CD=3，且cos∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.答案：C3、如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为()cosACA努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团5图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.答案:D（3）解答题1、如图28-2-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=3，BD=32,求AB及∠B.图28-2-3-2解：过D点作DE⊥AB于E点，设AC=x，则AE=x.在Rt△BED中，得到BE=3,又由AB2=AC2+BC2，得（3+x）2=x2+27,解得x=3,AB=6,sinB=21,∴∠B=30°.2.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长.（精确到1m，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD，交BC的延长线于点E，在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m，∴BE=AB·tanA=3200(m).AE=2120060cosAB=400(m).在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m，∴DE=CD·cot∠CED=3100(m),CE=21100sinCEDCD=200m.∴AD=AE－DE=400－3100≈227(m),BC=BE－CE=3200－200≈146(m).3.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团6图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=2，∴BD=630tanAD，AB=2230sinAD.∴CB=BD+CD=2+6.4.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.41421，3=1.73205）图28－2－2－10解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）.Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°，∴AE=CE=80(米).∴CD=AB－AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.五、拓展训练6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C作CD垂直AB的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD的长为x,则tan∠CBD=BDxBDCD,∴BD=33x.∴tan∠CAB=tan30°=xxADCD33633.∴x=33.∴x≈5.26.∴继续向东行驶,有触礁的危险.六、反思总结努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团7当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）1.等腰三角形的两条边长分别是4cm、9cm，则等腰三角形的底角的余弦值是()A.94B.45.4C.92D.93解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92.答案：C2、有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6m，下底为10m，高为32m,则坡角为_______.解：设坡角为α,则坡度=tanα=3)610(2132，∴坡角为60°.答案：60°3、计算：（1）2)160(sin+|1-tan60°|（2）sin302sin453tan30cos45cos604、如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.解：过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中，∠B＝45°，∵sinB=ABAD,∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22,∴BD=22.在Rt△ADC中，AC=6,由勾股定理得DC=72)22(62222ADAC,∴BC=BD+DC=7222,tanC=7147222DCAD.5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α.(1)求sinα、cosα、tanα的值；(2)若∠B=∠CAD，求BD的长.。ABCD努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团8