2020高一数学新教材必修1教案学案-4.2-指数函数解析版

14.2指数函数思维导图2运用一指数函数判断【例1】（1）函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑎𝑥是指数函数，则实数𝑚=（）A．2B．1C．3D．2或−1（2）函数y=（a2–5a+5）ax是指数函数，则有（）A．a=1或a=4B．a=1C．a=4D．a0，且a≠1【答案】（1）D（2）C【解析】（1）由指数函数的定义，得𝑚2−𝑚−1=1，解得𝑚=2或−1，故选D.（2）∵函数y=（a2–5a+5）ax是指数函数，∴{𝑎2−5𝑎+5=1𝑎0𝑎≠1，解得a=4．故选C．【触类旁通】1.下列函数是指数函数的是（）A．𝑦=𝜋𝑥B．𝑦=𝑥2C．𝑦=−2𝑥D．𝑦=21𝑥【答案】A【解析】根据指数函数的定义：形如𝑦=𝑎𝑥(𝑎1且𝑎≠1)的函数叫做指数函数，A中𝑦=𝜋𝑥符合指数函数的定义，是指数函数；B中，𝑦=𝑥2符合指数函数的定义，不是指数函数；C中，𝑦=−2𝑥不符合指数函数的定义，系数为-1，不是指数函数；D中，𝑦=21𝑥不符合指数函数的定义，不是指数函数．故选A．2．若函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−2𝑎−2)⋅𝑎𝑥是指数函数，则𝑎的值是（）A．−1B．3C．3或−1D．2【答案】B【解析】根据指数函数的定义：形如𝑦=𝑎𝑥(𝑎1且𝑎≠1)的函数叫做指数函数，根据这一定义得到函数躬行实践【思路总结】3𝑓(𝑥)=(𝑎2−2𝑎−2)⋅𝑎𝑥是指数函数，∴{𝑎2−2𝑎−2=1𝑎0𝑎≠1，解得𝑎=3．故选B．运用二定义域值域【例2】（1）函数y＝√𝑎𝑥−1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a＞0B．a＜1C．0＜a＜1D．a≠1（2）若2𝑥2+1≤(14)𝑥−2，则函数𝑦=2𝑥的值域是（）A.[18,2)B.[18,2]C.(−∞,18]D.[2,+∞)（3）设a0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．【答案】（1）C（2）B（3）13或3【解析】（1）要使函数𝑦=√𝑎𝑥−1(𝑎0且𝑎≠1)有意义,则𝑎𝑥−1≥0,即𝑎𝑥≥1=𝑎0,当𝑎1时，𝑥≥0；当0𝑎1时，𝑥≤0，因为𝑦=√𝑎𝑥−1的定义域为(−∞,0]所以可得0𝑎1符合题意，∴𝑎的取值范围为0𝑎1，故选C.（2）将2𝑥2+1≤(14)𝑥−2化为𝑥2+1≤−2(𝑥−2)，即𝑥2+2𝑥−3≤0，解得𝑥∈[−3,1]，所以2−3≤2𝑥≤21，所以函数𝑦=2𝑥的值域是[18,2].故选C.（3）令t＝ax(a0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈1[,]aa，此时f(t)在1[,]aa上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝211a－2＝14.所以211a＝16，解得a＝－15(舍去)或a＝13.②当a1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1[]aa，，4此时f(t)在1[]aa，上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝13或3.【触类旁通】1．（2019·浙江期中）已知函数2xya定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】0a【解析】函数的定义域为R，则20xa恒成立，即2xa恒成立，20＞，x0a，故答案为：0a2．（2018·浙江学军中学高一期中）已知f（x）=2x2axa31的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】[-1，0]【解析】∵f（x）2231xaxa的定义域为R，∴22131xax0对任意x∈R恒成立，即220313xaxa恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为：[﹣1，0]．3．（2019·贵州高一期末）若函数26yxx的定义域为A，则函数142()xxyxA的值域为__________.【答案】[1,48]【解析】由260xx…，得260xx„，(3)(2)0xx„，【思路总结】1.对于y＝af(x)这类函数，①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．②值域问题，应分以下两步求解：ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得此函数的值域．2.对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数，①定义域是R.②值域可以分以下两步求解：ⅰ设t＝ax，求出t的范围；ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．5∴23x剟，∴1284x剟.令2xt，则222(1)1yttt，∴当1t时，min1y；当8t时，max48y.故答案为：[1,48]4．（2019·石嘴山市第三中学月考）函数2212xxy的值域为________．【答案】(0，2]【解析】由题意，设222(1)11txxx，又由指数函数1()2ty为单调递减函数，当t1时，02y，即函数221()2xxy的值域为(0,2]．运用三单调性判断及运用【例3】（1）若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为A．a12B．12a1C．a1D．a≥1(2)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b（3）不等式(12)𝑥2+𝑎𝑥＜(12)2𝑥+𝑎−2恒成立，则a的取值范围是________．【答案】（1）C（2）C（3）(－2,2)【解析】（1）由题意2𝑎−11⇒𝑎1，应选答案C。（2）a＝0.771.2,0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b.（3）由指数函数的性质知y＝(12)x是减函数，因为(12)𝑥2+𝑎𝑥＜(12)2𝑥+𝑎−2恒成立，所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，即(a－2)(a－2＋4)＜0，即(a－2)(a＋2)＜0，故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．6【触类旁通】1．设函数，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如下图所示：由图象可知，函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(−∞,0)上单调递减，在[0,+∞)为常值函数，由𝑓(𝑥+1)𝑓(2𝑥)，得{𝑥+12𝑥2𝑥0，解得𝑥0，因此，实数𝑥的取值范围是(−∞,0)，故选：D.2.比较下列各题中两个值的大小：【思路总结】1.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．2.比较幂值大小的三种类型及处理方法7(1)57－1.8与57－2.5；(2)23－0.5与34－0.5；(3)0.20.3与0.30.2.【答案】见解析【解析】(1)因为0571，所以函数y＝57x在其定义域R上单调递减，又－1.8－2.5，所以57－1.857－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝23x与y＝34x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得23－0.534－0.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.3.(1)解不等式1322x－≤3；(2)已知(a2＋2a＋3)x(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)1322x－＝(3－1)22x－＝322x－，∴原不等式等价于322x－≤31.∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋21，∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．∴x1－x，解得x12.∴x的取值范围是xx12.运用四定点【例4】（1）（2018·疏勒县八一中学高二期末）已知函数22xfxa的图象恒过定点A，则A的坐标为___．（2）（2019·河北永清县一中高二月考）对不同的0a且1a,函数42()3xfxa必过一个定点A,则点A的坐标是_____.【答案】（1）（2,3）（2）2,4【解析】（1）令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得22223fa.8所以函数的图像过定点A（2,3）.故答案为：（2,3）（2）根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝0a+3＝4，∴点A的坐标是（2，4）．故答案为：（2，4）．【触类旁通】1．函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1−2(𝑎0,𝑎≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线𝑚𝑥−𝑛𝑦−1=0上，其中m0，𝑛0，则1𝑚+2𝑛的最小值为（）A.4B.5C.6D.3+2√2【答案】D【解析】令𝑥−1=0，得𝑥=1，则𝑓(1)=𝑎0−2=−1，∴函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象恒过点𝐴(1,−1)，点𝐴在直线𝑚𝑥−𝑛𝑦−1=0上，可得𝑚+𝑛=1，由基本不等式得1𝑚+2𝑛=(1𝑚+2𝑛)(𝑚+𝑛)=𝑛𝑚+2𝑚𝑛+3≥2√𝑛𝑚⋅2𝑚𝑛+3=3+2√2，当且仅当𝑛=√2𝑚时，等号成立，因此，1𝑚+2𝑛的最小值为3+2√2，故选：D.2．（2019·黑龙江鹤岗一中高二月考（文））当0a且1a时，函数1()3xfxa的图象必经过定点（）A．(1,2)B．(0,1)C．(1,2)D．0,0【答案】A【解析】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令10x可得1x，此时0132fa，故函数恒过定点1,2.故选：A.运用五图像【例5】(1)如图所示是下列指数函数的图象：①y＝ax②y＝bx③y＝cx④y＝dx则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(2)当a0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．【答案】(1)B(2)(3，－1)9【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．【触类旁通】1.已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()【答案】C【解析】由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.2.若a1，－1b0，则函数y＝ax＋b的图象一定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a1，且－1b0，故其图象如右图所示．运用六指数函数性质的综合应用【例6】