函数性质总结

北京四中函数的基本性质一、基础知识梳理1、函数的单调性：一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上的减函数。认知：①函数的单调性是对区间而言的，它是函数的“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数“整体”性质；②对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；③对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数；④定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:f(x)在D上为增函数且f()f(),且,D;f(x)在D上为减函数且f()f(),,D.⑤单调性的定义,是判断、证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为(Ⅰ)设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且;(Ⅱ)作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;(Ⅲ)定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.⑥复合函数y=f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即外层函数f（u）与内层函数g（x）若具有相同的单调性，则y=f[g（x）]必定是增函数；若具有不同的单调性，则y=f[g（x）]必定是减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：第一步，求出复合函数的定义域；第二步，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判断其单调性；第三步，把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；第四步，根据复合函数的单调性规律判断其单调性.2、函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)则奇函数。对函数奇偶性定义的理解与运用应注意以下方面：①函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数为奇函数或偶函数，首先看定义域是否关于原点对称，如f(x)=x2，x∈(-1,1]，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；②函数f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，则f(0)=0；③奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据，对于不易找到函数f(-x)和±f(x)关系时，常用以下等价形式：当f(x)≠0时，也可用来判断。例如：判断函数的奇偶性，可由x∈R，得f(x)为奇函数。④f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.⑤可利用定义说明以下常见结论：奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。⑥定义在R上的任一函数f(x)，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。其中为奇函数，为偶函数。⑦奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。[典型例题]例1、研究二次函数的单调性，并加以证明.分析：研究函数的单调性，首先得确定函数的单调区间，然后讨论函数在这个区间上是递增还是递减.从二次函数的图象可知，是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，因此这个函数的定义域R分为（－∞，1]和[1，+∞）两个单调区间，在（－∞，1）上递减，在[1，+∞）上递增.证明：设x1、x2是[1，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，则有f（x1）=2x12－4x1－1，f（x2）=2x22－4x2－1，f（x2）－f（x1）=2（x22－x12）－4（x2－x1）=2（x2+x1）（x2－x1）－4（x2－x1）=2（x2－x1）（x1+x2－2）由于x1＜x2时，有x2－x1＞0，又由于x1≥1，x2＞1，有x1+x2＞2，即x1+x2－2＞0，所以f（x2）－f（x1）=2（x2－x1）（x1+x2－2）＞0，即f（x2）＞f（x1）.所以f（x）在[1，+∞）上递增.用同样的方法可证明f（x）在（－∞，1]上递减.点评：本题的研究方法是先观察，其次对观察结果进行证明.这是数学研究的基本方法.从观察到证明的过程，也是从直观的粗略性向精确性过渡的过程.对于二次函数f（x）=ax2+bx+c的单调性，有如下四种情况：（1）当a＞0时，x∈（－∞，－]，f（x）为减函数；（2）当a＞0时，x∈[－，+∞），f（x）为增函数；（3）当a＜0时，x∈（－∞，－），f（x）为增函数；（4）当a＜0时，x∈[－，+∞），f（x）为减函数.例2、证明函数在（1，＋∞）上为增函数.分析：证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.证明：设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）=x1－x2+（－）=x1－x2－=（x1－x2）（）∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.点评：俗话说“他山之石，可以攻玉”，可以应用计算机技术，绘出这个函数的图象（如图所示），这样会有个直观的认识，从而加深对这个函数的理解.例3、作出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间.解：作函数图象如下图，由图象可知，函数的单增区间为（－∞，－1）、（0，1）；函数的单调减区间为（－1，0）、（1，＋∞）.例4、判定下列函数的奇偶性(1)(2)f(x)=ln(1+e2x)-x分析与解答：(1)函数定义域为[-1，0)∪（0，1]在定义域内，原函数f(x)可化简为，∴f(x)为奇函数。(2)定义域为(-∞,+∞)，=，∴f(x)为偶函数。点评：(1)先求函数定义域，并利用定义域化简函数，便于判断，否则，按以下判断：。就会得出f(x)是非奇非偶函数的错误结论。(2)在对具体函数进行奇偶性判断时，常可通过“试数”方法猜测其奇偶性，再予以证明，证明过程中，应先对函数进行化简，以便于判断。例5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，，求f(x)在R上的完整表达式。分析与解答：首先f(0)=0当x0时，-x0,∴点评：已知函数在某一范围的解析式，利用函数性质，求其在其它区间上的解析式；或已知函数在某一区间上的单调性，研究它在其它区间上的单调性等问题，都要做到“求谁设谁”，即将所求范围内的变量设为x，或(x,y)，再利用对称性等其它性质，利用对称区间的条件，来获得x,y的函数关系。练：的图象上任一点为(x,y)，则点在y=g(x)图象上，求y=g(x)的解析式。解：设y=g(x)图象上任一点为则点P＇(2x,3y)在y=f(x)图象上，∴，∴为所求。例6、求函数的单调区间。(1)(2)y=|x|(1-x)(3)分析与解答：可以通过引入中间变量u，将复合函数y=f[g(x)]拆分为u=g(x)和y=f(u)，复合函数的单调性可以通过u=g(x)和y=f(u)的单调性获得，结果如下表，但实施时要首先考虑函数定义域。u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增(1)x2-8x+70,∴x7或x-1当x∈(-∞,-1)时，x↗，u=x2-8x+7↙,↗∴(-∞,-1)为单增区间；当x∈(7,+∞)时，x↗,u=x2-8x+7↗,↙,∴(7,+∞)为单减区间。(2)含绝对值的函数，可分情况讨论，去掉绝对值符号因函数图象易于画出，所以画图（见左），直接读出单调区间∴单增区间为，单减区间为（-∞，0]和。(3)可先化简函数为当，k∈Z时，即时，x↗，↗，↙当，k∈Z时，即时，x↗，↗，↗∴单增区间为，k∈Z，单减区间为，k∈Z。评注：①数形结合利用图象判断函数单调区间；②关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关。③复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决，内外层函数同向变化Þ复合函数为增函数；内外层函数反向变化Þ复合函数为减函数。例7、设函数f（x）在定义域R＋上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），），求：f（1）及f（）.分析：这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求f（1）的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=，y=1，得f（1）=0.解：令x=，y=1，得f（1）=0.∵f（）=1，∴f（）=2.例8、定义在（-2，2）上的偶函数f(x)，当x≥0时为减函数，若f(1-a)f(a)恒成立，求实数a的取值范围。分析与解答：∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(|x|)由f(1-a)f(a)，有f(|1-a|)f(|a|)∴，解得：。点评：利用函数的单调性，设法将条件转化为关于a的不等式组，处理时，应关注定义域条件，特别是利用奇偶性，将f(1-a),f(a)均化为f(|1-a|)、f(|a|)，从而利用x≥0的减函数性质，获得关于a的条件，巧妙地避开了对a的分类讨论。例9、x∈[0,1]，不等式恒成立，求a的取值范围。分析与解答：将不等式的左端整理为关于x的函数，即对x∈[0,1]恒成立，∴只需fmin(x)0∵f(x)可视为关于x的一次型函数，∴只需，即有∴,∴.说明：（1）若函数f(x)=kx+b在[a,b]恒成立，限定方法有两种：方法一：只需方法二：只需。利用f(x)为一次函数，故其最值存在，只能在区间端点处取得，即若其两端点值均大于零。（2）恒成立问题：常常可将函数整理为已给范围的变量为自变量的函数的最值问题去处理。例10、设a0，是奇函数。（1）试确定a的值；（2）试判断f(x)的反函数f-1(x)的单调性，并证明；（3）设（n∈N*）试比较f-1(n)与g(n)的大小。解析：（1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)+f(-x)=0即对定义域内x均成立，解得a=1，即；（2）由得，∴，∴，∴f-1(x)在定义域内为增函数，当任取定义域内x1,x2且x1x2时，因得，则，∴f-1(x1)f-1(x2)，即f-1(x)为增函数。（3），则：f-1(1)g(1),f-1(2)g(2),f-1(3)g(3),假设f-1(k)g(k)(k≥3)成立，即：即2k2k+1,则。∴f-1(k+1)g(k+1)，综上知，n≥3时，恒有f-1(n)g(n).评注：本题综合考查了指数函数，对数函数的性质，部分分式法的变形技巧及数学归纳法、逻辑推理能力等。例11、设函数定义在R上对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)求证：f(0)=1且当x0时f(x)1；(2)求证：f(x)在R上单调递减；(3)设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A∩B＝Æ，求a的取值范围。解：(1)取m0,n=0，得f(m)=f(m)·f(0)，且f(m)∈(0,1),∴f(0)=1,又对于x0,f(x-x)=f(x)·f(-x),∴f(0)=f(x)·f(-x)，而-x0,∴即f(x)1.(2)任取x1,x2∈R,且x1x2，∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)f(x2)，而f(x2)0(由题设及(1))，∴，故f(x1)f(x2),则f(x)在(