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第1页线段与角的动点问题1.如图,射线OM上有三点A、B、C,满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm(如图所示),点P从点O出发,沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动),两点同时出发.(1)当P运动到线段AB上且PA=2PB时,点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点,求点Q的运动速度;(2)若点Q运动速度为3cm/秒,经过多长时间P、Q两点相距70cm?【解答】解:(1)P在线段AB上,由PA=2PB及AB=60,可求得PA=40,OP=60,故点P运动时间为60秒.若CQ=OC时,CQ=30,点Q的运动速度为30÷60=(cm/s);若OQ=OC,CQ=60,点Q的运动速度为60÷60=1(cm/s).(2)设运动时间为t秒,则t+3t=90±70,解得t=5或40,∵点Q运动到O点时停止运动,∴点Q最多运动30秒,当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm,之后点P继续运动40秒,则PQ=OP=70cm,此时t=70秒,故经过5秒或70秒两点相距70cm.2.如图,直线l上依次有三个点O,A,B,OA=40cm,OB=160cm.(1)若点P从点O出发,沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动,点Q从点B出发,沿BO方向匀速运动,两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s,则经过t秒后P,Q两点之间的距离为|160﹣5t|cm(用含t的式子表示)②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时,点P恰好满足PA=2PB,求点Q的运动速度.(2)若两点P,Q分别在线段OA,AB上,分别取OQ和BP的中点M,N,求的值.【解答】解:(1)①依题意得,PQ=|160﹣5t|;第2页故答案是:|160﹣5t|;②如图1所示:4t﹣40=2(160﹣4t),解得t=30,则点Q的运动速度为:=2(cm/s);如图2所示:4t﹣40=2(4t﹣160),解得t=7,则点Q的运动速度为:=(cm/s);综上所述,点Q的运动速度为2cm/s或cm/s;(2)如图3,两点P,Q分别在线段OA,AB上,分别取OQ和BP的中点M,N,求的值.OP=xBQ=y,则MN=(160﹣x)﹣(160﹣y)+x=(x+y),所以,==2.3.如图,射线OM上有三点A、B、C,满足OA=60cm,AB=60cm,BC=10cm(如图所示),点P从点O出发,沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动.(1)当点P运动到AB的中点时,所用的时间为90秒.(2)若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,速度为3cm/秒,求经过多长时间P、Q两点相距30cm?【解答】解:(1)当点P运动到AB的中点时,点P运动的路径为60cm+30cm=90cm,所以点P运动的时间==90(秒);故答案为90;(2)当点P和点Q在相遇前,t+30+3t=60+60+10,解得t=25(秒),第3页当点P和点Q在相遇后,t+3t﹣30=60+60+10,解得t=40(秒),答:经过25秒或40秒时,P、Q两点相距30cm.4.如图,在数轴上点A表示的数是﹣3,点B在点A的右侧,且到点A的距离是18;点C在点A与点B之间,且到点B的距离是到点A距离的2倍.(1)点B表示的数是15;点C表示的数是3;(2)若点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时,点P与点Q之间的距离为6?(3)在(2)的条件下,若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB,在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB=4?若存在,请求出此时点P表示的数;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)点B表示的数是﹣3+18=15;点C表示的数是﹣3+18×=3.故答案为:15,3;(2)点P与点Q相遇前,4t+2t=18﹣6,解得t=2;点P与点Q相遇后,4t+2t=18+6,解得t=4;(3)假设存在,当点P在点C左侧时,PC=6﹣4t,QB=2t,∵PC+QB=4,∴6﹣4t+2t=4,解得t=1.此时点P表示的数是1;当点P在点C右侧时,PC=4t﹣6,QB=2t,∵PC+QB=4,∴4t﹣6+2t=4,解得t=.此时点P表示的数是.综上所述,在运动过程中存在PC+QB=4,此时点P表示的数为1或.5.将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O.第4页(1)如图①,若∠AOB=155°,求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.(2)如图①,你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系?∠AOB与∠DOC有何关系?直接写出你发现的结论.(3)如图②,当△AOC与△BOD没有重合部分时,(2)中你发现的结论是否还仍然成立,请说明理由.【解答】解:(1)∠AOD=∠BOC=155°﹣90°=65°,∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣65°=25°;(2)∠AOD=∠BOC,∠AOB+∠DOC=180°;(3)∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°,∵∠AOC=∠BOD=90°,∴∠AOB+∠DOC=180°.6.以直线AB上点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将直角△DOE的直角顶点放在点O处.(1)如图1,若直角△DOE的边OD放在射线OB上,则∠COE=30°;(2)如图2,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得OE平分∠AOC,说明OD所在射线是∠BOC的平分线;(3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得∠COD=∠AOE.求∠BOD的度数.【解答】解:(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°,又∵∠COB=60°,第5页∴∠COE=30°,故答案为:30°;(2)∵OE平分∠AOC,∴∠COE=∠AOE=COA,∵∠EOD=90°,∴∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,∴∠COD=∠DOB,∴OD所在射线是∠BOC的平分线;(3)设∠COD=x°,则∠AOE=5x°,∵∠DOE=90°,∠BOC=60°,∴6x=30或5x+90﹣x=120∴x=5或7.5,即∠COD=5°或7.5°∴∠BOD=65°或52.5°.7.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=130°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:此时直线ON是否平分∠AOC?请直接写出结论:直线ON平分(平分或不平分)∠AOC.(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为13或49.(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转,请探究:当ON始终在∠AOC的内部时(如图3),∠AOM与∠NOC的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请举例说明.第6页【解答】解:(1)平分,理由:延长NO到D,∵∠MON=90°∴∠MOD=90°∴∠MOB+∠NOB=90°,∠MOC+∠COD=90°,∵∠MOB=∠MOC,∴∠NOB=∠COD,∵∠NOB=∠AOD,∴∠COD=∠AOD,∴直线NO平分∠AOC;(2)分两种情况:①如图2,∵∠BOC=130°∴∠AOC=50°,当直线ON恰好平分锐角∠AOC时,∠AOD=∠COD=25°,∴∠BON=25°,∠BOM=65°,即逆时针旋转的角度为65°,由题意得,5t=65°解得t=13(s);②如图3,当NO平分∠AOC时,∠NOA=25°,∴∠AOM=65°,即逆时针旋转的角度为:180°+65°=245°,由题意得,5t=245°,解得t=49(s),综上所述,t=13s或49s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC;第7页(3)∠AOM﹣∠NOC=40°,理由:∵∠AOM=90°﹣∠AON∠NOC=50°﹣∠AON,∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(50°﹣∠AON)=40°.9.已知∠AOC=40°,∠BOD=30°,∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转,点M,O,N在同一条直线上,OP是∠COD的平分线.(1)如图1,当点A与点M重合,点B与点N重合,且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时,求∠BOP的余角的度数;(2)在(1)的基础上,若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为5°/s,同时∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为3°/s,如图2所示,当旋转6s时,求∠DOP的度数.【解答】解:(1)∵∠AOC=40°,∠BOD=30°,∴∠COD=180°﹣40°﹣30°=110°,∵OP是∠COD的平分线,∴∠DOP=∠COD=55°,∴∠BOP=85°,∴∠BOP的余角的度数为5°;(2)∠DOP的度数为49°,旋转6s时,∠MOA=3×6°=18°,∠NOB=5×6°=30°,∴∠COM=22°,∠DON=60°,∴∠COD=180°﹣∠COM﹣∠DON=98°,∵OP是∠COD的平分线,∴∠DOP=∠COD=49°.10.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,将一直角三角形的直角顶点放在第8页点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:直线ON是否平分∠AOC?请说明理由;(2)若∠BOC=120°.将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为10或40(直接写出结果);(3)在(2)的条件下,将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.【解答】解:(1)直线ON平分∠AOC.理由如下:设ON的反向延长线为OD,∵OM平分∠BOC,∴∠MOC=∠MOB,又∵OM⊥ON,∴∠MOD=∠MON=90°,∴∠COD=∠BON,又∵∠AOD=∠BON,∴∠COD=∠AOD,∴OD平分∠AOC,即直线ON平分∠AOC.(2)∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°,∴∠BON=∠COD=30°,即旋转60°时ON平分∠AOC,由题意得,6t=60°或240°,∴t=10或40;(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°.即∠AOM=∠NOC+30°.11.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC:∠BOC=2:1,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在第9页射线OA上,另一边OM在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置,使得OM落在射线OA上,此时ON旋转的角度为90°;(2)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置,使得OM在∠BOC的内部,则∠BON﹣∠COM=30°;(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转,当OM恰为∠BOC的平分线时,此时,三角板绕点O的运动时间为(24n+16)秒,简要说明理由.【解答】解:(1)如图2,依题意知,旋转角是∠MON,且∠MON=90°.故填:90;(2)如图3,∠AOC:∠BOC=2:1,∴∠AOC=120°,∠BOC=60°,∵∠BON=90°﹣∠BOM,∠COM=60°﹣∠BOM,∴∠BON﹣∠COM=90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM=30°,故填:30;(3)16秒.理由如下:如图4.∵点O为直线AB上一点,∠AOC:∠BOC=2:1,∴∠AOC=120°,∠BOC=60°.∵OM恰为∠BOC的平分线,∴∠COM′=30°.∴∠AOM+∠AO
本文标题:(完整)初一动点问题答案
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