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1《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计一、指导思想与理论依据数学在其自身的发展过程中,充满了合情推理和逻辑推理的过程,充满了数学实验的过程.如何使学生在数学学习中,受到数学文化的熏陶,体验到数学思想、方法的美妙,进而使思维品质得到有效的锻炼、逐步形成“数学的看世界”的思维方式呢?本人经过多年的思考和教学实践证明:“经历”是最好的训练手段.在数学问题的解答、研究过程中,让学生经历“动手、动脑、猜想、修正猜想、验证猜想、严格证明、拓展研究”的数学问题解决、发展的全过程,即合情推理、逻辑推理、数学实验的过程,可以强化学生的种种“感受”,是使学生“掌握知识、技能,提高能力,形成‘数学的看世界’的思维方式”好方法之一.结合教学内容,为了使学生能够更深刻的感知问题背景,为了使猜想更加令人信服,为了更深刻挖掘教学的资源,提高教学效果,本节课使用多媒体课件作为辅助手段(只靠粉笔、黑板是绝不可能达到的).二.教学背景分析1.教学内容分析由于“通过几何图形性质的坐标形式,求出某些动点的轨迹方程”,是解析几何的基本问题之一;由于对“椭圆焦点三角形的性质”的有关问题的解决,要用到初中、高中的代数、三角和平面几何的知识,对这类问题的解决能有效的体现学生综合运用知识解决问题的能力,因此,它在高考试题中也是“上式率”比较高的内容.所以,对椭圆焦点三角形四心轨迹方程的研究是非常必要的.2.学生情况分析这是一节解题方法探索课.⑴知识方面:学生刚刚学完圆锥曲线的知识,对椭圆的基本性质掌握的比较好;初中学的三角形内心的性质已经淡忘,布置学生课下复习或从网上搜集材料;“求轨迹方程”的方法学生刚刚学完,中等、中下等学生运用的不太熟练,课前需要简单的复习.⑵能力方面:多数同学能够解决一些“求轨迹方程”的简单问题,但是,对2利用画图、轨迹经过的特殊点进行合情推理(猜想、验证)的运用意识和能力不强;综合运用知识解决问题的能力有待提高.为此,我设计了这样一节“解题方法探索”课,以进一步提高学生数学学习能力.⑶学生可能的问题:由于受手画椭圆准确程度的限制,学生可能猜不出轨迹,这时需要课件适时的演示,加以确认;认可轨迹是椭圆后,容易把猜想出的轨迹方程当作所求方程;缺乏严格论证的意识,需要教师加以阐明;中等、中下等学生对给出的知识、方法不会合理应用,需要教师的课上单独辅导(只能是少数的学生).⑷教学软件:由于教师经常使用《几何画板》软件制作的课件授课,所有学生对《几何画板》软件有一定的了解(多数学生已经安装在自己的计算机上).3.教学方式与教学手段(1)教学方式的采用:根据本节的教学内容以及学生的知识结构、心理特点,我采用“启发方法、引导猜想,让学生动手实验、动脑探索”的教学方法,让学生经历“数学实验、合情推理、逻辑推理”过程,充分体现学生的主体作用,达到强化学生的“感受”,使学生“掌握知识、技能,提高能力.(2)教学手段的采用为了更有效地突出本节课“探索”的特点,为了更有效地突出研究“几何学”的方法,采用多媒体作为辅助的教学手段,利用《几何画板》的强大的绘图功能及其动态演示,提高学生对图形的认识,引发学生对问题更深入的思考.⑴用课件演示椭圆动态的形成过程和规范的图形,有利于帮助学生建立准确的图象印象和空间想象力,有利于学生正确理解椭圆的性质,有利于学生理解数学对“运动、变化”规律的研究方法.这是粗糙的手绘图形所不能相比的.⑵学生通过画图、观察只能有一部分同学猜出椭圆焦点三角形内心的轨迹是椭圆,多数同学对需要准确的图形来印证,图形连续变化形成轨迹的过程,更具有可信度,间断、粗糙的手绘图形说服力不够(尤其对数学学习有障碍的学生).⑶学生画椭圆的时候,经常出现的问题是:在长轴顶点位置不光滑或太“尖”;焦距、长轴的比例与离心率不符;掌握不好焦点与准线的位置,……,这些都应当在准确的图形中加以说明.3⑷利用课件中准确的椭圆焦点三角形外心的轨迹,讲解更简单、明了,对学生思路的启发效率更高.⑸课件中椭圆焦点三角形四心的同时运动,可以自然、流畅的把欧拉线问题引入;通过将问题类比到双曲线、抛物线中去,使问题研究的方法、范围自然、流畅的引向它处,.4.信息技术准备运行软件:《几何画板》,《powerpoint》,WINDOWS98以上操作系统。利用《几何画板》软件制作:动态椭圆、动态焦点三角形及其内心轨迹的课件,使图形更直观、形象,猜想更可信.同时,激发学生的学习欲望,引发更深科的思考;利用实物投影展示学生的思路,促进学生之间的交流.三.教学目标及内容框架设计1.教学目标a.通过实验、观察、分析、猜想、验证的过程,巩固基础知识和基本技能;b.通过寻求解题方法的过程,使学生体验数学科思考问题、研究问题的方法;c.通过严格的论证过程,使学生体验数学理性思维的本质特征;d.通过对原问题的不断挖掘、研究,培养学生科学的思维方法和积极探索的精神.2.内容框架设计本课是对书本知识的延伸、基本方法的巩固,以及思维能力的训练.课堂内容包括:复习求轨迹方程的基本方法;展示动态的椭圆焦点三角形,给出问题,引发猜想;学生实验、探索过程;展示所求轨迹,确认猜想;严格论证;进一步的研究.4教学过程设计教学过程教师活动学生活动设计意图复习引入⒈能把你复习到了解或从网上找到的“三角形角平分线和内心的性质”告诉我们吗?⑴三角形ABC中,AD平分∠CAB,则ABBDACCD⑵1()2Sabcr(r是三角形内切圆的半径)⒉如何求动点的轨迹方程:求动点的轨迹方程,既求出动点横、纵坐标的关系式;具体方法有:利用圆锥曲线的定义;利用已知点的轨迹方程;利用所给图形的性质;引进新的参数.可以查笔记,也可以互相交流.回忆知识,提高速度。保留板书新课讲解[展示动态背景,提出问题]⒈展示椭圆的形成过程⒉展示椭圆焦点三角形的运动过程图(1)⒊提出问题:椭圆:)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程是什么?[启发思考,引导猜想]⒈你能猜出它的轨迹吗?通过什么进行猜想?⑴画图:画出几个不同位置的内心,光滑连接.图(2)⑵直接从运动的图中观察.⒉你能猜出它的轨迹方程吗?通过什么进行猜想?⑴通过轨迹与x轴、y轴的交点.⑵猜想:方程1)(222222cacbycx.观察、思考学生动手画图;或继续观察课件.得出:仍然是一个椭圆.学生动手画图、验算:由轨迹通过的特殊点.由动态图形,降低形象力要求,直接观察就可以猜想.启发、引导学生画图、演算适时演示课件,确认学生的猜想,时间不能过长.5新课讲解[展示轨迹,验证猜想]图(3)⒈确实象一个椭圆.⒉通过原椭圆的焦点,与y轴的交点坐标如何求的?图(4)提示:利用三角形角平分线的性质和椭圆的知识.[理性思考,严格论证]⒈你有充分理由说明这个椭圆焦点三角形的轨迹是椭圆吗?——不能通过椭圆的两个定义说明.⒉这个方程可靠吗?——在没有说明是椭圆的时候,这个方程也不可靠.⒊如何说明它的轨迹是椭圆呢?——通过方程.⒋如何正确的求出它的轨迹方程?——借助点P的轨迹方程.展示学生解答过程翘首以待.学生证明.并展示交流.思考问题,可以交流.思考问题,可以交流.思考问题,可以交流.独立思考,设计方案,稍后交流.多方面验证猜想正确后,再考虑证明.运用初中知识,并为后面的证明作好准备.巩固基础知识,同时感受数学理性思考特征.6新课讲解解:如图(5),设点P00,yx,内心I为),(yx,焦点)0,()0,(21cFcF、,11rPF,22rPF,则0212exrr.图(5)过内心I作IFIEID、、垂直2121PFPFFF、、于点FED、、.∵点I是△PFF21的内心,点FED、、是切点,∴得方程组cDFDFrFFPFrEFPE2212211,结合0212exrr,解得:01excDF.而xcDF1,∴0exx,既exx0.………①又∵△PFF21面积0ycS,ycayPFPFFFSF)()(21121,∴0ycyca)(,既0y=ycca.……………②将①②代入)0(1220220babyax,得1)(222222cacbycx.可知,椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆.利用前面所学知识求解.思考问题,可以交流.综合运用三角形内心的性质、椭圆的定义及椭圆的性质和基本方法解题.①式得出的难度教大,应及时引导.得出②式的方法很多,可以交流.[方法小结,巩固练习]椭圆:)0(12222babyax焦点三角形外心的轨迹及其方程是什么?(22||2bcyb)独立思考,设计方案,稍后交流.课堂巩固知识、方法、解题过程.7课堂小结[课堂小结,拓展问题]⒈本节课你对哪些知识、方法有比较深的体会?⒉再遇到新的“求动点的轨迹方程”的问题,你知道怎样去思考,怎样寻找解题的“突破口”吗?⒊你能结合本节课的内容和以前学过的知识,提出一个新的问题吗?回顾反思,提出问题.作业[因人而异,自选作业]请你自选一道题,作为今天的作业.⒈椭圆:)0(12222babyax焦点三角形重心、垂心的轨迹及其方程是什么?⒉双曲线:)0,(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程是什么?因人而异.教学过程流程图开始展示问题情景引出椭圆焦点三角形引发猜想,引出作图由特殊点.验证猜想严格论证巩固练习由画图课堂小结拓展问题自选作业四.学习效果评价本节课,在教师引导学生对“椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程”的实验、观察、猜想、验证、论证的过程中,学生积极地投入到学习活动的各个环节,充分体现了学生在学习活动中的主体地位,椭圆的基础知识、求轨迹方程的基本方法得到巩固和强化,综合运用知识解决问题的能力得以提高;合理的教学结构设计,使课堂气氛活跃,学习氛围融洽,学生思维量大,学生智力得到有效开发;特别是,学生在“实验、观察、猜想、验证、论证”的过程中,体验到了合情推理在数学发现、发展过程中的地位,体验到数学学科理性思考的特征,体验到数学家们“一丝不苟,严谨求实,善于探索”的优良品质;课后学生们都说“这样的课有意思”,对数学问题探索的方式、方法,表现出了8极大的兴趣.本节课是邱老师把自己对这个问题的研究过程,经过分析、提炼、删减、组合设计而成的一节课,充分体现了“研究、教学、学习共同发展”给课堂教学带来的活力,使这节课能力立意突出,充分体现了数学课上培养学生能力的特征和途径.
本文标题:高中数学《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计
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