金融物理

1金融物理基础及其模拟[教学实践周]包景东北京师范大学物理系([e-mail])2011年7月11日-15日2引子莎士比亚：《哈姆雷特》中的波罗纽斯建议他的儿子“既不当债务人也不当债权人”；爱因斯坦：“复利计算为有史以来最伟大的数学发现”金融学的两大要素：时间和风险谁对呢？31871年，富兰克林去世他留下为期200年5000美元投资，用于资助医学。如果这笔钱每年赚7%的收益，那么这笔钱每年赚取７％的收益，那么现在这笔钱成为多少呢？１．这笔钱每１０年将翻一番；２．２００年后，它将翻了２０番；３．现值多少呢？亿美元美元5050002204本课程内容提要1、经济学十大原理2、金融物理学基础知识2.1储蓄、投资和金融体系2.2基本金融工具3、资产价格的统计模型4、分数阶微积分5、蒙特卡罗模拟方法初步51．经济学十大原理什么是经济学？研究社会如何管理自己的稀缺资源6经济学分为两个分支：微观经济学；宏观经济学•微观经济学：研究家庭和企业如何做出决策，以及它们如何在市场上如何交易。•宏观经济学：研究整体经济现象，包括通货膨胀、失业和经济增长。国内生产总值（所有人的总收入）（GDP）；物价平均上涨比率（通货膨胀）；劳动力失去工作的人比例（失业）；商店的总销售额（零售额）；一国与它国之间的贸易不平衡量（贸易赤字）7•原理一：人们面临权衡取舍学生如何支配他们最宝贵的资源：时间？天下没有免费的午餐•原理二：某种东西的成本是为了得到它所放弃的东西上大学最主要的利益：获取了知识，拥有了更好工作的机会；放弃了机会成本（提前工作的收入）8•原理三：理性人考虑边际量理性人：系统而有目的地尽最大努力实现其目标的人变际变动：对行动计划的微小增量调整例如：航空公司对等退票的乘客的价格•原理四：人们会对激励做出反应例如：汽油税鼓励人们开小排量的汽车9•原理五：贸易可以使每个人的状况都变得更好贸易使每个人都可以专门从事自己最擅长的活动，通过与他人的交易，按较低的成本获得各样物品和劳务•原理六：市场通常是组织经济活动的一种好方法在市场经济中，中央计划者的决策被千百万企业和家庭的决策所取代。市场经济能够成功？朝着促进总体经济好的方向发展“一只看不见的手”10•原理七：政府有时可以改善市场结果市场失灵是指它本身无法有效地配置资源，设计良好的公共政策可以提高效率。•原理八：一国的生活水平取决于它生产物品与劳务能力如何解释各国和不同时期中生活水平的巨大差异？生产率：每一单位劳动投入所生产的物品和劳务的数量。11原理九：当政府发行了过多货币时，物价上升通货膨胀就是经济中物价总水平的上升，其罪魁祸首是货币量的增长原理十：社会面临通货膨胀与失业之间的短期权衡取舍1）货币量增加刺激了社会整体支出水平，从而增加了对物品与劳务的需求；2）需求会引起企业提高物价，也鼓励雇佣更多的工人；3）减少了失业。12为什么你应该学习金融学？你可以学会使你终生受益的系统的、经过严格训练的思维方式为什么要学习模拟方法？一个学科运用的数学和模型越多，它就可能具有预测功能13试用直接法产生如下分布的样本)10()](exp[)(.3)()(exp1exp)(.2)0,0,0(exp)(.121xaxbeabxfxbaxbbaxxfamxaxxamxfaxmm14内容提要1.分数布朗运动与反常扩散2.连续时间无规行走理论(CTRW)3.分数阶微积分应用4.计算统计物理：反常扩散的模拟5.CTRW在金融领域的应用6.小结15•牛顿物理:试图对自然现象做精确的测量，将自然界理解为确定性的“时钟”；•麦克斯韦－玻耳兹曼物理：偏离平均不再是一个误差，大的方差不再是测量精度的指标；•布朗运动：(1)1785年JanIngenhausz观测木炭粉末在酒表面运动；(2)1828年RobertBrown观测花粉,尘埃,烟灰在水表面的运动;(3)1905年AlbertEinstein用随机行走解释流体分子的热运动;(4)1926年JeanPerrin因为测量Avogadro常数获Nobel物理奖;•进一步发展是什么呢？导语161.分数阶布朗运动与反常扩散•反常扩散:反常扩散是指自由系统偏离正常布朗运动的扩散行为，表现为粒子的方均位移满足其中Kα称为广义扩散系数，α称为功率指数或者扩散指数。0α1称为欠扩散(sub-diffusion)，1α2称为超扩散(super-diffusion);α=0称为局域化(localization)，α=2称为弹道扩散(ballisticdiffusion)，它们是扩散的两个极限。1,~)(20tKxtx17正常布朗运动5.12)(ttx18信天翁190204060801000100200300400500600700v20=kBT/v20=0x2(t)tBaoandZhuo:PRL91,138104(2003)热扩散的极限：弹道扩散2t20•研究反常扩散--输运的主要手段：1.广义热力学统计(Tsallis统计)2.非线性媒介Fokker-Planck方程和分数阶Fokker-Planck方程(FFPE)3.广义主方程(GME)4.广义Langevin方程(GLE)和分数阶Langevin方程(FLE)5.连续时间无规行走(CTRW)“非标准统计物理”212.连续时间无规行走理论Pearson-Einstein一维无规行走理论：1、假设粒子只在相邻格点之间跳跃，不同格点用下标j区分;2、假设粒子向j±1格点跳跃的概率相等，均为0.5。于是，粒子的一维扩散主方程为：),(21),(21),(11txxWtxxWttxWjjj2223连续时间无规行走理论连续性近似下Δx→0,Δt→0，将主方程两边分别对Δx和Δt做泰勒展开，左边得到：右边得到：将上面两式代入主方程，就得到自由场扩散方程：其中称为扩散系数。)(),(),(2ttWttxWttxWjjj)(2)(),(),(32221xxWxxWxtxWtxxWjjjj),(221txWxKtWtxKtx2)(lim20,0124连续时间无规行走理论1965年，Montroll和Weiss在无规行走的基础上进行扩展，即将无规行走的固定时间间隔和固定跳跃距离都假设成随机变量，提出连续时间无规行走(CTRW)。25连续时间无规行走理论在CTRW理论中，粒子的扩散过程包含两个基本要素：①随机跳跃距离；②随机等待时间，它们的联合分布密度函数ψ(x,τ)。跳跃距离分布函数记为λ(x)，等待时间分布函数记为ω(τ)，两者都可由ψ(x,τ)得到：λ(x)dx表示跳跃距离取值在(x,x+dx)的概率；ω(τ)dτ表示等待时间在(τ,τ+dτ)的概率。),()(,),()(0xdxxdx26连续时间无规行走理论粒子t时刻在初始位置的存活概率为：其Laplace变换形式为：用η(x,t)表示粒子t时刻到达坐标x处的概率密度，并假设粒子初始分布为W0(x)，由此可得描述无规行走过程的广义主方程(GME)：tdt0)(1)(uuu)(1)()()()','()','(''),(00xWtttxxtxdtdxtxt27连续时间无规行走理论于是，粒子的分布函数W(x,t)满足：将GME代入上式，得到：对以上方程做Fourier-Laplace变换，得到粒子分布函数在相空间满足的方程：这是一个代数方程，记为方程(A)。ttttxdttxW0)'()',('),()()()','()','(''),(00xWtttxxtxWdtdxtxWt),(1)()(1),(0ukkWuuukW28连续时间无规行走理论•正常扩散正常扩散情况下，CTRW理论要求等待时间分布的一次矩均和跳跃距离分布的二次矩有限，通常选择泊松函数和高斯函数分别作为等待时间和跳跃距离的分布，记作：它们的Laplace变换和Fourier变换形式分别为：2220104exp41)(,exp)(xx)(1~)(),(1~)(42220kkkuuu29连续时间无规行走理论将上面两式代入方程(A)，并舍去高阶项，化简得到：注意到：可得描述自由粒子正常扩散的扩散方程：其中K1为扩散系数。),()(),(210ukWkKkWukuW)(),(),(),(),(022xWuxuWtxWLtkWktxWFtx),(),(221txWxKtxWt30连续时间无规行走理论•欠扩散欠扩散情况下，CTRW理论要求粒子跳跃距离分布的二次矩有限，故依然选择高斯函数作为粒子跳跃距离的分布；同时要求粒子等待时间分布的一次矩发散，通常选择的等待时间分布函数具有如下的长尾渐进形式：其Laplace变换形式为：10)(A)(1~)(0uu31连续时间无规行走理论将欠扩散等待时间分布和跳跃步长分布的相空间表达式代入方程(A)，得到：利用分数阶积分的Laplace变换公式：可得：),()(1),(20ukWukKkWuukW),(),(0uxWutxWILt),()(),(2200txWxKIxWtxWt分数阶幂32连续时间无规行走理论注意到分数阶导数和分数阶积分的关系：最后得到描述自由粒子欠扩散的分数阶扩散方程(FDE)：其中Riemann-Liouville分数阶导数算符定义为：可见和整数阶导数不同，分数阶导数包含了对历史的记忆，体现出非马尔科夫性质。10,010ttItD),(),(2210txWxKDtxWtttttttxWdtttxWD0110)'()',(')(1),(33连续时间无规行走理论将欠扩散粒子方均位移(MSD)的定义式做Fourier变换，得到：将W(k,u)的表达式代入计算，并做Laplace逆变换，可得：可见从CTRW模型出发，选择合适的等待时间分布函数，即可得到方均位移正比于tα的结果。02222),(),()(kukWkdxuxWxFux10,)1(2)(2tKtx34此情况下，要求等待时间分布的一次矩有限而跳跃距离分布的二次矩发散。因此，通常选择泊松函数作为等待时间的分布；而选择Lévy分布作为跳跃距离的分布，它具有一个长的拖尾，其渐进形式为：Fourier变换形式为：/2,||)2/sin()1()(1xx||1~)||exp(~)(kkk超扩散35可得到自由粒子超扩散的分数阶扩散方程：其中是Reisz-Weyl分数阶导数算符。上述分数阶扩散方程的解具有如下幂律渐进形式：),(),(txWDKtxWtx21,||~),(1xtKtxWxD36•可见粒子空间分布函数具备Lévy分布的典型特征，因此粒子的方均位移是发散的。现采用以空间分布宽度替代方均位移的方法，空间分布宽度定义为：•这种方法相当于假设空间存在一个宽度随时间增长的虚拟“盒子”，在计算粒子方均位移的时候，只统计“盒子”内部粒子的贡献。21,~),()(2/2/22tdxtxWxtxLtLtL371.相变中的临界现象；2.复杂网络；3.广义中心极限定理；4.长尾经济理论；||1)(xxp幂律分布反常扩散：长尾分布超扩散长程关联欠扩散383.分数阶微积分应用tttttxWdtttxWD0110)'()',(')(1),(Riemann-Liouville分数阶导