(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型

1第1讲三角函数与平面向量综合题3.17题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值.题型二.三角函数与平面向量垂直的综合【例2】已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32，2π)，且→a⊥→b．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋3)的值．题型三.三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－2＜β＜0＜α＜2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a·→b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(2)＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，tan37C．（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()fxab，其中向量(,cos2)amx，(1sin2,1)bx，xR，且函数()yfx的图象经过点(,2)4．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数()yfx的最小值及此时x值的集合。题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin,cos),(cos,cos),axxbxxxR，函数()()fxaab.（Ⅰ）求函数()fx的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2fx成立的x的取值集.【跟踪训练】三角函数与平面向量训练反馈1、已知向量a=（xxx3,52），b=（2，x），且ba，则由x的值构成的集合是（）A、｛0，2，3｝B、｛0，2｝C、｛2｝D、｛0，-1，6｝2、设02x,且1sin2sincosxxx,则（）A．0xB．744xC．544xD．322x3、函数1cos4tan2sin)(xxxxf的值域是。4、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscos2BbCac.（1）求角B的大小；（2）若b＝13，a＋c＝4，求a的值.5、已知向量)1),3(cos(xa，)21),3(cos(xb，)0),3(sin(xc函数baxf)(，caxg)(，cbbaxh)(（1）要得到)(xfy的图象，只需把)(xgy的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求)()()(xgxfxh的最大值及相应的x．2009031826．设函数()()fxabc，其中向量(sin,cos),(sin,3cos)axxbxx，(cos,sin),cxxxR．（Ⅰ）求函数xf的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数xfy的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d．7．已知向量(sin,1),(1,cos),22ab．（Ⅰ）若ab，求；（Ⅱ）求ab的最大值．8、已知向量)21,sin(am，)cos,21(n．（1）当22a，且nm时，求2sin的值；（2）当0a，且m∥n时，求tan的值．【专题训练】一、选择题1．已知→a＝(cos40，sin40)，→b＝(cos20，sin20)，则→a·→b＝（）A．1B．32C．12D．222．将函数y＝2sin2x－π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是（）A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC中，AB→＝a→，AC→＝b→，若a→·b→＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设→a＝(32,sin)，→b＝(cos,13)，且→a∥→b，则锐角为（）A．30B．45C．60D．755．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，32)，则一定有（）A．→a∥→bB．→a⊥→bC．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b|6．已知向量a→＝(6，－4)，b→＝(0，2),c→＝a→＋b→，若C点在函数y＝sinπ12x的图象上,实数＝（）A．52B．32C．－52D．－327．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是（）A．2B．3C．32D．238．若向量→a＝(cos,sin)，→b＝(cos,sin)，则→a与→b一定满足（）A．→a与→b的夹角等于－B．→a⊥→bC．→a∥→bD．(→a＋→b)⊥(→a－→b)9．已知向量→a＝(cos25,sin25)，→b＝(sin20,cos20)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（）A．2B．1C．22D．1210．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：→OP＝→OA＋(→AB＋→AC)，∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题11．已知向量→m＝(sin，2cos)，→n＝(3,－12).若→m∥→n，则sin2的值为____________．12．已知在△OAB(O为原点)中，→OA＝(2cos，2sin)，→OB＝(5cos，5sin)，若→OA·→OB＝－5，则S△AOB的值为_____________.13．已知向量→m＝(1，1)向量→n与向量→m夹角为3π4，且→m·→n＝－1.则向量→n＝__________．三、解答题14．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·→n＝1，且A为锐角.3(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋6)的值．16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋6)取最大值时，求角B的大小.17．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝→a·→b，且x∈[－4,4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案一、选择题1．B解析：由数量积的坐标表示知→a·→b＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝32.2．D【解析】y＝2sin2x－π2→y＝2sin2（x＋2）－π2＋π2，即y＝－2sin2x.3．A【解析】因为cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝a→·b→|a→|·|b→|＜0，∴∠BAC为钝角.4．B【解析】由平行的充要条件得32×13－sincos＝0，sin2＝1，2＝90，＝45.5．B【解析】→a·→b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，32)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·→b＝0，∴→a⊥→b．6．A【解析】c→＝a→＋b→＝(6，－4＋2)，代入y＝sinπ12x得，－4＋2＝sin2＝1，解得＝52.7．C【解析】|P1P2→|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32.8．D【解析】→a＋→b＝(cos＋cos,sin＋sin)，→a－→b＝(cos＋cos,sin－sin)，∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．9．C【解析】|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·→b＝1＋t2＋2t(sin20cos25＋cos20sin25)＝t2＋2t＋1＝(t＋22)2＋12，|→u|2min＝12，∴|→u|min＝22.410．C【解析】设BC的中点为D，则→AB＋→AC＝2→AD，又由→OP＝→OA＋(→AB＋→AC)，→AP＝2→AD，所以→AP与→AD共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心．二、填空题11．－8349【解析】由→m∥→n，得－12sin＝23cos,∴tan＝－43，∴sin2＝2sincossin2＋cos2＝2tantan2＋1＝－8349．12．532【解析】→OA·→OB＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos(－)＝－5cos(－)＝－12，∴sin∠AOB＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S△AOB＝12×2×5×32＝532．13．(－1，0)或(0，－1)【解析】设→n＝(x，y)，由→m·→n＝－1，有x＋y＝－1①，由→m与→n夹角为3π4，有→m·→n＝|→m|·|→n|cos3π4，∴|→n|＝1，则x2＋y2＝1②，由①②解得x=﹣1y=0或x＝0y＝－1∴即→n＝(－1，0)或→n＝(0，－1)．三、解答题14．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n＝3sinA－cosA＝1，2sin(A－6)＝1，sin(A－6)＝12，由A为锐角得A－6＝6，A＝3.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝12，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－12)2＋32，因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝12时，f(x)有最大值32．当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．15．【解】(Ⅰ)由→m∥→n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝12或cosA＝－1.∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝3.(Ⅱ)∵b＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝3sinA＝32，∵B＋C＝23，sinB＋sin(23－B)＝32，∴32cosB＋32sinB＝32，即sin(B＋6)＝32．16．【解】(Ⅰ)由→m⊥→n，得→m·→n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝12，故A＝3.(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos6＋cos2Bsin6＝1＋32sin2B－12cos2B＝1＋sin(2B－6).由(Ⅰ)得，0＜B＜23，－6＜2B－6＜76，∴当2B－6＝2，即B＝3时，y取最大值2.17．【解】（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·1＋cos2x2＋12sin2x＋1－cos2x2＝0，即sin2x＋c