高等电磁场理论习题解答(作业)1

第一章基本电磁理论1-1利用Fourier变换,由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。（作1-2—1-3）解：付氏变换和付氏逆变换分别为：麦氏方程：对第一个方程进行付氏变换：（时谐电磁场）同理可得：上面四式即为麦式方程的频域形式。1-2设各向异性介质的介电常数为当外加电场强度为(1)；(2)；(3)；(4)；(5)求出产生的电通密度。（作1-6）解：将E分别代入，得：1-3设各向异性介质的介电常数为试求：(1)当外加电场强度时，产生的电通密度D；(2)若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。（作1-7—1-8）解：即：.附：又所以1-6已知理想导电体表面上某点的电磁场为试求该点表面电荷及电流密度。解：由已知条件，理想导体表面某点：(1-6-1)(1-6-2)知该点处的法向单位矢量为：(1-6-3)理想导体表面上的电磁场满足边界条件：(1-6-4)(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：(1-6-6)将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：(1-6-7)1-9若非均匀的各向同性介质的介电常数为,试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:（作1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足(1-9-1)(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得又所以(1-9-3)又在非均匀各向同性介质中即(1-9-4)将(1-9-4)代入(1-9-3)，得即第2章平面电磁波2-1导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程组为(2-1-1)(2-1-2)(2-1-3)(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为(2-1-5)(2-1-6)由(2-1-4)式得即(2-1-7)由(2-1-3)式得即(2-1-8)利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为(2-1-9)(2-1-10)均匀介质中，无源区中2-4推导式（2-2-8）。解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz方程：其中，设复传播常数，则由得即所以由等号两边实部和虚部对应相等得解以上方程组得2-6试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。证：任一椭圆极化平面波可写为令，，则上式变为上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。2-7试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：上式等价于磁场强度的瞬时值表达式为：其中表示波阻抗。因此能流密度的瞬时值表达式为：因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。2-8设真空中圆极化平面波的电场强度为V/m试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式知传播常数，所以波长：频率：因为此圆极化平面波的传播方向为方向，且电场强度分量相位超前分量相位，因此为左旋圆极化平面波。磁场强度可写为能流密度为：2-9设真空中平面上分布的表面电流，式中为常数。试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。解：平面上分布的表面电流将产生向+z和-z方向传播的两个平面波。设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和，向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和。由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：(2-9-1)(2-9-2)又，所以即(2-9-3)将(2-9-3)代入(2-9-1)得：得(2-9-4)所以,z0(2-9-5)，z0(2-9-6)同理，z0(2-9-7),z0(2-9-8)其中为真空波阻抗。能流密度：，z0,z02-10若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z=d平面，再求解其结果。解：由2-9题知，平面上分布的表面电流将产生方向极化向和方向传播的两个平面波。为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。如图2-10所示，设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为假设理想导电平面位于处，则表面电流向+z方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。设反射波的电场和磁场分别为：由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得（1）由z=0处电场和磁场满足的边界条件，得：（2）即（3）联立解（1）（2）（3）得：，，所以，，，在区域：在区域：，在区域：电磁场为零。复能流密度：（z0）2-13当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1V/m，入射角为60，介质的电磁参数为，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。解：在真空中：波阻抗为，传播常数为介质中的波阻抗为，传播常数为设折射角为，则所以，即(1)对于平行极化波，有反射系数透射系数可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为；(2)对于垂直极化波，有反射系数透射系数因此反射波和折射波的电场振幅均为。2-16已知电场强度为的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为，，，中间介质夹层厚度，试求各区域中电场强度及磁场强度。解答：由电场强度知，传播常数rad/m，波长m。在中间介质中的波长为m，传播常数rad/m。介质三中的波长为m，传播常数rad/m。三种介质中的波阻抗分别为：，，介质一（z≤0）中入射波电场和磁场强度为，，令反射电场和磁场强度为，介质二(0z≤d)中，令入射波和反射波的电场和磁场强度分别为：，，介质三（zd）中，令入射波的电场强度为。则在和处有电场和磁场切向分量连续得：由以上四式可解得,，，则各区域的电场和磁场强度为：，，，，，第三章辅助函数3-1.由Lorentz条件导出电荷守恒定律。解答：已知矢量磁位和标量电位分别满足：(3-1-1)(3-1-2)由(3-1-1)得(3-1-3)所以将Lorentz条件代入上式得：电荷守恒定律得证。3-3已知在圆柱坐标系中，矢量磁位，式中。试求对应的电场强度和磁场强度。解：已知(3-3-1)(3-3-2)(3-3-3)将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得3-4使用Hertz矢量求解电流元Il和磁流元Iml产生的电磁场。（作3-7—3-12）解：设电流元和磁流元均沿z轴放置于原点。电流元产生的电Hertz位和磁流元产生的磁Hertz位分别满足由以上两式求得(参见戴书p23)所以电流元产生的电磁场磁流元产生的电磁场为3-7证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。证：无源区域中有即由此可得由（1）（5）两式可得：式中同理可证的表达式。（见讲义p8）3-20试证式（3-8-16）。证明：设并矢，则3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。证明：所以设则所以第4章电磁定理和原理4-1利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。证明：(1)如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元，在镜像位置放置一镜像电流元，根据电流元产生的电磁场的分布知，，在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。(2)如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H与l平行），在无限大理想导电平面附近放置一垂直磁流元，在镜像位置放置一镜像磁流元，则其产生的矢量电位分别为产生的磁场强度分别为若满足，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。4-3长度为l，宽度为w的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-3所示。若缝隙中的电场强度为利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。（作4-10—4-14）lwxyz习题图4-3解答：对称天线的辐射场为:由对偶原理知，将以上两式中换为，换为，可得裂缝天线的辐射场为：4-4利用矢量Green定理，导出积分形式的互易定理。证明：设区域中的两组同频源，和，产生的电磁场分别满足(4-4-1)(4-4-2)及(4-4-3)(4-4-4)已知第二矢量Green定理为(4-4-5)令，代入上式得利用(4-4-2)和(4-4-4)，(4-4-6)式右端化为(4-4-7)利用(4-4-1)—(4-4-4)，(4-4-6)式左端化为(4-4-8)由(4-4-6),(4-4-7),(4-4-8)得因为，和，在表面内，因此(4-4-9)式中含有，和，项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为上式即为积分形式的的互易定理。(另证见书p161,较简单)4-5证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。证明：如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源，其在空间某点产生的磁场强度为，在该点放置另一个与方向相同的同频磁流源。则在理想导电体表面附近产生的磁场强度应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源。对，应用Carson互易原理，得即又，所以因为为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。4-10若位于的球面上的表面电流和表面磁流分别为试证区域内的电磁场与电流元Il的电磁场相等，区域内的电磁场为零。证明：沿轴放置的电流元产生的电磁场可写为假设在区域的电磁场和电流元产生的电磁场相等，区域的电磁场为零，则在表面上必存在面等效源电流元和面等效磁流元，且由边界条件可得由以上可见，面等效源电流元和面等效磁流元与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。因此由唯一性定理知，表面上的表面电流和表面磁流在区域产生的电磁场与电流元产生的电磁场相等，在区域内的电磁场为零。