天津市历届大学生数学竞赛试题

１2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1.函数在（-∞，+∞）上连续，则a=2。，，；，0cos01e)(22xxxaxxxfx2.设函数y=y(x)由方程所确定，则。0)cos(exyyx0dxyxd3.由曲线与x轴所围成的图形的面积A=。xxxy22312374.设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则。Exxxdsincos385．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l，则4l。1422yxLsyxxyd422二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.若且，则（D）0)(lim0uxxxAuf)(lim0uu（A）存在；（B）)]([lim0xfxxAxfxx)]([lim0（C）不存在；（D）A、B、C均不正确。)]([lim0xfxx2.设，，则当时，（A）xxxxfsin02d)sin()(43)(xxxg0x（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；)(xf)(xg)(xf)(xg（C）是比更高阶的无穷小；（D）是比更低阶的无穷小。)(xf)(xg)(xf)(xg3.设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则)(xf)()1(xafxfbf)0(')(xf在x=1处（D）（A）不可导；（B）可导，且；af)1(（C）可导，且；（D）可导，且。bf)1(abf)1(4.设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s0，t0，则I的值（C）)(xf)(xftsxtxft0d)(（A）与s和t有关；（B）与s、t及x有关；２（C）与s有关，与t无关；（D）与t有关，与s无关。5.设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则02yxu02222yuxu（B）。（A）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（B）u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u(x，y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x，y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限。（本题6分）)]21ln(2[ecoslim2202xxxxxx解：；)(!4!21cos442xoxxx；)(821)(2!2121e442422222xoxxxoxxx；)(22)()2(212)21ln(2222xoxxxoxxx由此得到：)(222)(821)(!4!21lim)]21ln(2[ecoslim22244244202202xoxxxxxoxxxoxxxxxxxxx。241)(2)(121lim44440xoxxoxx四、计算。（本题6分）02de1exxxx解：0000202de11de110e1e11dde1ede1exxxxxxxxxxxxxxxx命：，于是ttxtxd1de，则2ln11lnd111d)1(1de1e1102ttttttttxxxx３五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求),(yxuxxxuyuxu)2,(2222且21)2,('xxxu。（本题6分）)2(''11xxu，解：两边对x求导，得到xxxu)2,(1)2,('2)2,('21xxuxxu代入，求得，21)2,('xxxu21)2,('22xxxu两边对x求导，得到，21)2,('xxxuxxxuxxu2)2,(''2)2,(''1211两边对x求导，得到。21)2,('22xxxuxxxuxxu)2,(''2)2,(''2221以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故2222yuxu''''2112uu。xxxu34)2(''11，六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为))()((2zpypxppS则本题即要求在条件x+y+z=2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。设，))()((),(2pyxypxppSyxf问题转化成求在),(yxfpyxppypxyxD2,0,0),(上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x+yz，而由假设x+y+z=2p，即z=2p－（x+y），故有x+yz=2p－（x+y），所以有x+yp。由，0)22)(('0)22)(('yxpxppfyxpyppfyx求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在上),(yxf32,32ppM),(yxfD),(yxfD有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在),(yxfD),(yxfD４上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有),(yxf，2732,32),(max4),(pppfyxfDyx此时x=y=z=，即三角形为等边三角形。32p七、计算。（本题8分）yyxyyxyxyxyIdedded121212141解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。e21e83d)e(ededdedded1211211212121412xxyxxyxyIxxxxyyyxyyxy八、计算曲面积分，其中Σ为上半球yxayzxzaxyzyazxIdddddd232323面的上侧。（本题7分）222yxaz解：记S为平面z=0（x2+y2≤a2)的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，55503202042020222223232323232320294156ddsinddsind3ddddd3dddddddddddd222aaarrarryxayzyxxyxyxayzxzaxyzyazxyxayzxzaxyzyazxIaaayxSS九、已知a0，x10，定义,3,2,134131nxaxxnnn求证：存在，并求其值。（本题8分）nnxlim解：第一步：证明数列的极限存在：nx注意到：当n≥2时，≥，因此数列有下界。3141nnnnnxaxxxx443axaxxxnnnnnx５又≤，即xn+1≤xn，所以单调递减，由极限存在准则知，数列41341nnnxaxx1341aanxnx有极限。第二步：求数列的极限nx设：，则有≥。AxnnlimA04a由，313lim41limnnnnnxaxx有，解得（舍掉负根），即。3341AaAA4aA4limaxnn十、证明不等式。（本题7分），，xxxxx2211ln1证明：设，则2211ln1)(xxxxxf。222221ln11111ln)('xxxxxxxxxxxxf命，得到驻点x=0。由0)('xf011)(''2xxf可知x=0为极小值点，亦即最小值点，最小值为，于是对任意有，即0)0(f，x0)(xf所证不等式成立。十一、设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：)(xf143)0()(4fdxxf在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）0)('f证明：由积分中值定理知，存在，使得1,43)0(d)(4d)(11)(14314343fxxfxxff又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点)(xf1,0,0,0６，使得。1,0,00)('f十二、设在区间上具有二阶导数，且，，。)(xf),[a0)(Mxf2)(''0Mxf)(xa证明。（本题8分）202)('MMxf证明：对任意的，及任意的h0，使x+h∈(a，+∞)，于是有),[ax，其中。2)(''!21)(')()(hfhxfxfhxf],[hxh即)(''2)()(1)('fhxfhxfhxf故，（，h0）2022)('MhhMxf),[ax命，试求其最小值。2022)(MhhMhg命，得到，0212)('220MhMhg2002MMh，04)(''30hMhg所以，在处得极小值，亦即最小值，)(hg2002MMh。2002)(MMhg故，（）。202)('MMxf),[ax2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）７二、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．。xxxx1sin1312lim2322．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。tyttxcos1sin3t3331xy3．。e2)ln1(xxdx44．设在点(－1,1)处沿方向的方向导数。22yxyxz1251，llz535．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分，则。222Ryx22222zyxdS二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.曲线的渐近线有（B）)2)(1(1arctane212xxxxyx（A）1条；（B）2条；（C）3条；（D）4条。2.若，则当n2时（A）2)]([)(xfxf)()(xfn（A）；（B）；1)]([!nxfn1)]([nxfn（C）；（D）。nxf2)]([nxfn2)]([!3.已知函数f(x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则（C）（A）x0是f(x)驻点；（B）在（－∞，+∞）内恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的极小值点；（D）－x0是－f(x)的极小值点。4.设，则z=z(x,y)在点（0，0）（D）0,00,222222yxyxyxxyz（A）连续且偏导数存在；（B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在；（D）不连续但偏导数存在。5.设，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0则（D）dveeeIzyx)(I（A）；（B）；dvez3dvex3８（C）；（D）。dveeyz)2(dveezx)2(三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）011lnarctan2lim0Cxxxxnx解：，)1(4lim141lim111112lim11lnarctan2lim43042101200xnxxxnxn