大学物理教案上

第一章质点运动学§1-1质点运动的描述一、参照系坐标系质点1、参照系为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。2、坐标系为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。3、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）⑵质点突出了物体两个基本性质1）具有质量2）占有位置⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。二、位置矢量运动方程轨迹方程位移1、位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是直角坐标系，r为质点P的位置矢量kzjyixr（1-1）位矢大小：222zyxrr（1-2）r方向可由方向余弦确定：rxcos，rycos，rzcos2、运动方程质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。运动方程⑴矢量式：ktzjtyitxtr)()()()(（1-3）⑵标量式：)(txx，)(tyy，)(tzz（1-4）3、轨迹方程从式（1-4）中消掉t，得出x、y、z之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为tx，2ty，得轨迹方程为2xy（抛物线）4、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。设t、tt时刻质点位矢分别为1r、2r，则t时间间隔内位矢变化为12rrr（1-5）称r为该时间间隔内质点的位移。jyyixxrrr)()(121212（1-6）大小为讨论：⑴比较r与r：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量⑵比较r与s（A→B路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下sr。当0t时，sr。⑶什么运动情况下，均有sr？三、速度oxy2r1rrttB,tA,S图1-3yxzzyxP图1-2rzyxo参考系坐标系图1-1为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。1、平均速度如图1-3，定义：trv（1-7）称v为ttt时间间隔内质点的平均速度。jvivjtyitxtrvyx(1-8）v方向：同r方向。说明：v与时间间隔)(ttt相对应。2、瞬时速度v粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。定义：dtrdtrvvtt00limlim称v为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度。dtrdv（1-9）结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。jvivjdtdyidtdxdtrdvyx（1-10）式中dtdxvx，dtdyvy。xv、yv分别为v在x、y轴方向的速度分量。v的大小：v的方向：所在位置的切线向前方向。v与x正向轴夹角满足xyvvtg。3、平均速率与瞬时速率定义：tttttsv内路程（参见图1-3）称v为质点在ttt时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。定义：dtdstsvvtt00limlim称v为t时刻质点的瞬时速率，简称速率。当0t时（参见图1-3），rdr，dss，有dsrd可知：vdtrddtrddtdsv即dtdsvv（1-11）结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。说明：⑴比较v与v：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。⑵比较v与v：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。四、加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。1、平均加速度定义：tvvtva12（见图1-4）oxy2r1rttB,tA,图1-4（平移）212称a为ttt时间间隔内质点的平均加速度。2、瞬时加速度为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。定义：dtvdtvaatt00limlim称a为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。dtrddtvda2（1-12）结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。式中：22dtxddtdvaxx，22dtyddtdvayy。xa、ya分别称为a在x、y轴上的分量。a的大小：2222222222dtyddtxddtdvdtdvaaayxyxa的方向：a与x轴正向夹角满足xyaatg说明：a沿v的极限方向，一般情况下a与v方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。瞬时量：r，v，v，a综上：过程量：r，v，v，a矢量：r，r，v，v，a，a标量：s，v，v五、直线运动质点做直线运动，如图1-51、位移0x：r沿+x轴方向；0x：r沿-x轴方向。2、速度0xv，v沿+x轴方向；0xv，v沿-x轴方向。3、加速度0xa，a沿+x轴方向；0xa，a沿-x轴方向。由上可见，一维运动情况下，由x、xv、xa的正负就能判断位移、速度和加速度的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。六、运动的二类问题运动方程第二类问题：积分第一类问题：微分v、a等例1-1：已知一质点的运动方程为jtitr)2(22（SI），求：⑴t=1s和t=2s时位矢；⑵t=1s到t=2s内位移；⑶t=1s到t=2s内质点的平均速度；⑷t=1s和t=2s时质点的速度；⑸t=1s到t=2s内的平均加速度；⑹t=1s和t=2s时质点的加速度。解：⑴jir21mjir242m⑵jirrr3212mox1x2xtA,ttB,图1-5⑶jijitrv321232m/s⑷jtidtrdv22jiv221m/sjiv422m/s⑸jjtvvtva213212m/s2⑹jdtvddtrda222m/s2例1-2：一质点沿x轴运动，已知加速度为ta4(SI)，初始条件为：0t时，00v，100xm。求：运动方程。解：取质点为研究对象，由加速度定义有tdtdva4（一维可用标量式）由初始条件有：得：22tv由速度定义得：由初始条件得：即10322txm由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。§1-2圆周运动一、自然坐标系图2-1中，BAC为质点轨迹，t时刻质点P位于A点，te、ne分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，te切向和ne法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速度tevv（2-1）式（2-1）中，vv为速率。加速度为dtedvedtdvdtvdatt（2-2）式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与te共线，称该项为切向加速度，记为tttteaedtdva（2-3）式（2-3）中，dtdvat（2-4）ta为加速度a的切向分量。nerA,ttevO图1-7CBPA,t（法向）ne切向）(te图1-6结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。2、法向加速度式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图1-8，质点由A点运动到B点，有因为OAet，OBet'，所以te、te'夹角为d。ttteeed'（见图1-9）当0d时，有ddeedtt。因为tteed，所以ted由A点指向圆心O，可有式（2-2）中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为nnerva2（2-5）大小为rvan2（2-6）式（2-6）中，na是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。3、总加速度ntnnttntervedtdveaeaaaa2（2-7）大小：22222rvdtdvaaant（2-8）方向：a与te夹角（见图1-10）满足4、一般曲线运动圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径r看作变量即可。讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。⑵0na时，r，质点做直线运动。此时⑶0na时，r有限，质点做曲线运动。此时⑷斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例三、圆周运动的角量描述1、角坐标如图1-11，t时刻质点在A处，tt时刻质点在B处，是OA与x轴正向夹角，是OB与x轴正向夹角，称为t时刻质点角坐标，为ttt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。2、角速度ttB,tA,Oxy图1-11atanaOA,t图1-10teA,trddttB,dsO图1-8平均角速度：定义：t（2-9）称为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。定义：dtdttt00limlim（2-10）dtd（2-11）结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。说明：角速度是矢量，的方向与角位移d方向一致。3、角加速度为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。（1）平均角加速度：设在ttt内，质点角速度增量为定义：t（2-12）称为ttt时间间隔内质点的平均角加速度瞬时角加速度：定义：2200limlimdtddtdttt（2-13）称为t时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。22dtddtd（2-14）结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加速度是矢量，方向沿d方向。4、线量与角量的关系把物理量v、v、a、ta、na等称为线量，，等称为角量。（1）、v与关系如图2-7，0dt时，rddsrd有dtdrdtrd即rv（2-15）（2）、ta与关系式（2-15）两边对t求一阶导数，有即rat（2-16）（3）、na与关系即2ran（2-17）§1-3相对运动本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。一、相对位矢设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图1-13，二坐标系相应坐标轴平行，M相对于E运动。质点P相对E、M的位矢分别为PEr、PMr，相对位矢为：xxyyOOPMrPErEOr'pEM图1-13ddttB,tA,x图1-12rrddsrEOPMPErrr'(2-18)结论：P对E的位矢等于P对M的位矢与'O对E的位矢的矢量和。二、相对位移由（2-18）有EOPMPErrr'（2-19）结论：P对E的位移等于P对M的位移与'O对E的位移的矢量和。三、相对速度将式（2-18）两边对时间求一阶导数有MEPMPEvvv（2-20）结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。四、相对加速度由式（2-20）对时间求一阶导数有MEPMPEaaa（2-21）结论：P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量