抛物线知识点总结

抛物线知识点一抛物线概念的应用例1已知抛物线xy22的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PFPA的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。解：将3x代入抛物线方程xy22，得y626，点A在抛物线内部.设抛物线上的点P到准线l：21x的距离为d，由定义知PFPA=dPA当PA⊥l时，dPA最小，最小值为27，即PFPA的最小值为27此时P点纵坐标为2，代入xy22，得2x，点P的坐标为（2,2）知识点二求抛物线的标准方程例2求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点（-3,2）；（2）交点在直线042yx上.分析设抛物线的标准形式，依据条件求出p的值.解（1）设抛物线标准方程为pxy22或pyx22（0p），则将点（-3,2）代入方程得342p或292p，故抛物线的标准方程为xy342，或yx292（2）令0x，由方程042yx，得2y.抛物线的交点为F(0，-2).设抛物线方程为pyx22，则由22p，得82p.所求的抛物线方程为yx82令0y，由042yx，得4x抛物线的交点为F(4，0).设抛物线方程为pxy22，由42p，得162p所求的抛物线方程为xy162知识点三抛物线在实际中的应用例3汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截面得抛物线顶点）距离是多少？分析确定抛物线方程，求出抛物线的交点到其顶点的距离解取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xoy，如图所示.因灯口直径24AB,灯深10OP,所以点A的坐标是（10,12），设抛物线的方程为pxy22由点A在抛物线上，得102122p536p抛物线焦点坐标为（0,518）因此灯泡与放射镜的距离是518.知识点四抛物线几何性质的简单应用例4抛物线的顶点在原点，对称轴重合与椭圆364922yx短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程.分析先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数.解椭圆364922yx可化为19422yx，得抛物线的对称轴为x轴.设抛物线的方程为axy2（0a），又抛物线的交点到顶点的距离为3，则有34a，12a，即12a，故所求抛物线方程为xy122，或xy122知识点五直线与抛物线例5已知过抛物线pxy22)0(p的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且pAB25，求AB所在的直线方程.解焦点)0,2(pF，设),(11yxA，),(22yxB，若直线AB⊥Ox，则ppAB252，不符合题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为)2(pxky，0k.由)2(22pxkypxy，消去x整理得0222kppyky由韦达定理得：kpyy221，2221pkkpyy.221221)()(yyxxAB=2212)()11(yyk=2122124)(11yyyyk=)11(22kp=p25解的2kAB所在的直线方程为)2(2pxy知识点六抛物线的焦点弦问题例6AB是过抛物线pxy22)0(p焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l,N为垂足.求证：（1）AN⊥BN；（2）FN⊥AB；（3）若MN交抛物线于Q，则Q平分MN.证明：（1）作AC⊥l,垂足为C，作BD⊥l，垂足为D,在直角梯形ABCD中，ACAF,BDBF,21MN(BDAC))(21BFAFAB21,由平面几何知识可知：ΔABC是直角三角形，即AN⊥BN.（2）NMAM，∠MAN∠MNAAC∥MN∠CAN=∠MNA,∠MAN∠CAN.在ΔACN和ΔAFN中，ANAN,AFAC且∠CAN=∠FAN,△ACN≌△AFN∴∠AFN=∠NCA=90°∴FN⊥AB（3）在Rt△MNF中，连接QF，由抛物线的定义及（2）得：QFQN∠QNF∠QFN且∠QNF90°-∠QFM∠QMF=90°-∠QNF∴∠QMF=∠QFM,∴QMQF∴QMQN，即Q平分MN.知识点七抛物线的综合问题例7过抛物线pxy22)0(p的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB的面积S（O为原点）.(1)用、p表示S;(2)求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程.解（1）设直线，代入pxy22，得)2(22pkypy，即0222pykpy，∴kpyy221，221pyy∴221221)()(yyxxAB2122124)(11yyyyk21221224)(1yyyykk22222441pkpkkppk2)tan11(2)11(222sin2p当AB⊥x轴时，上式也成立.∴)sin(21sin21BFOFAFOFSsin21ABOF即sin22pS（2）当90°时，2min21pS，若4minS，则22p∴此时抛物线的方程为xy242